Probléme sur les Récurrence niveau Terminal S

[tomrouch38]

Bonjour, je suis nouveau et je viens avec un probléme sur mon DM .
Voici l'enoncé : Démontrez que pour tout entier naturel n, l'entier 3^(2n)- 2^n est un multiple de 7 .

J'ai donc fait l'initialisation en disant que c'était valable pour n=0 et n=1 :
On trouve 0 pour n = 0 et 7 pour n=1 ( deux mulitiples de 7)
Mais ensuite pour faire l'heredité en n+1 je pose 3^(2n)- 2^n = 7k
mais je n'arrive pas à allé plus loin que :

3^2n x 3 - 2^n x 2

pouvez vous m'aider ??

[mystik_57]

Demontre qu'au rang n+1, 3^(2n+2)-2^(n+1) est divisible par 7

[gimini]

Bonjour,
Tu suppose que c'est vrai au rang n, trés bien et ensuite tu dois demontrer que c'est vrai au rang (n+1).
L'équation devient 3^2(n+1)-2^(n+1) = 3^2n*3²-2*2^n... tu as oublié le carré sur le 3.

Essaye avec cette nouvelle equation et previens nous si tu n'y arrive pas.

[tomrouch38]

eu en faite j'ai fait une erreure en tapant ma reponse , je n'arrive pas avec le carrée sur le 3 ...je me trouve avec 3^2n*9 - 2^n*2, je ne trouve pas de factorisation possible...

[gimini]

Ha ok, alors c'est parce que tu developpe les exposants... dit toi que 3²=9 -->3^2n=9^n...

Si avec ca tu n'y arrives toujours pas, dis le moi...

[homotopie]

eu en faite j'ai fait une erreure en tapant ma reponse , je n'arrive pas avec le carrée sur le 3 ...je me trouve avec 3^2n*9 - 2^n*2, je ne trouve pas de factorisation possible...

9=7+2 avec ça tu devrais arriver à développer puis factoriser pour aboutir à quelquechose de la forme : 7k+h(3²ⁿ-2ⁿ) avec h et k entier. Il n'y a "plus qu'à" uitiliser l'hypothèse de récurrence.
La dernière remarque de gimini n'est pas fausse mais relance la résolution de l'exercice dans une autre voie (ce n'est pas en "retirant" le 3²ⁿ qu'on va retourner à l'hypothèse de récurrence) ce que je ne trouve pas indispensable car on n'en est plus très loin avec la voie empruntée pour l'instant.

[gimini]

Alors, voici la solution.

d'apres une egalite remarquable, on a a^n-b^n = (a-b).SOMME (i=0 à i=n-1)(a^i.b^(n-i)).
Dans notre cas, on a a=9 et b = 2. On trouve 9^n-2^n = (9-2).SOMME (i=0 à i=n-1)(9^i.2^(n-i)).
Or, 9-2 = 7... et SOMME (i=0 à i=n-1)(9^i.2^(n-i)) est entier

Même ^pas besoin de recurrence, trop fort moi


Si vous voulez le faire par recurence, on suppose vrai au rang n.
au rang n+1, on a a^(n+1)-b^(n+1) = (a-b).SOMME (i=0 à i=n)(a^i.b^(n-i))
on sort le terme de rang n pour retrouver l'egalité precedente et il vient:
a^(n+1)-b^(n+1) = (a-b).SOMME (i=0 à i=n-1)(a^i.b^(n-i)).a^n.b^(n-n)

soit a^(n+1)-b^(n+1) = (a^n-b^ni).a^n.

Comme c'est vrai au rang n et que a^n est entier, alors c'est vrai au rang n+1

CQFD, il fallait donc bien voir que 3²=9 et connaitre l'egalité remarquable bien sur

[tomrouch38]

MERCI POUR TOUTE VOS REPONSEs !!

[tomrouch38]

Décidément la recurrence est moi sa fait 2 !! J'ai a nouveau un probléme ...
voici l'enoncé : on note 1x2x3x...n = n!
Je doit démontrer ( par recurrence ) que pour tout entier naturel n >= ( superieur ou egal) 1, on a n! >= 2^n-1 .

Voila comment j'ai procédé : Initialisation : pour n= 1 , n!=1 et 2^n-1 = 1 donc c'est bon ... j'ai quand même fait avec n = 3 pour etre sur et j'ai trouvé n!=6 et 2^n-1 = 4 , donc l'initialisation est validée .
Pour l'heridité, j'ai supposé que 2^n-1 etait vrai pour n >= 1 .
Mais le probléme c'est que je crois que je pars a l'enver :

j'ai mis :

n!>=2^n-1

n!>= 2^n/2

2n!>= 2^(n+1)/2

Je vois plus aprés...a moins qu'il faut partir de n!>=1 ?? pouvez m'aider a nouveau ?

[homotopie]

Pour la réflexion il est toujours bon d'écrire à la fois d'où on part (n!>=2^n-1, c'est bon) et où on doit arriver ((n+1)!>=2^(n-1)+1)
Regardons un peu cette "arrivée", d'après la définition de la factorielle comment passe-t-on du membre de droite du rang n à celui de rang n+1 ?

[tomrouch38]

c'est bon j'ai trouver la reponse, on multiplie... merci