[1°S] Factoriser un polynome du 2nd degré

[invitef5dc7e34]

Bonjour,

Ma prof, expliquant en même temps qu'elle rédige, je n'ai eu ni le temps de prendre l'intégralité du cours ( démonstration sur la factorisation d'un polynome )
ni compris comment factoriser un polynome de degré supérieur à 1.

Je sais seulemlent passer par la forme canonique, qui ne convient pas d'après ma prof pour je ne sais quels raisons !

Si vous auriez l'amabilité de m'expliquer rapidement avec des exemples numériques et me dire pourquoi la forme canonique ne convient pas. Et surtout la méthode pour factoriser n'importe quel degré de polynome.

Ce serait vraiment sympatique car j'ai un devoir maison à rendre sur çà lundi et je ne sais rien.

Merci d'avance, Ares.
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[MS.11]

Pour factoriser un polynôme de degré 2 et de solutions

tu dois écrire

Mais il te faut d'abord calculer le discriminant et trouver tes solutions...

et s'il est positif

et



Ca vaut mieux que n'importe quel exemple numérique .

Si tu en veux vraiment un remplace a b et c et amuse toi à faire ce que je t'ai écrit. Calcul du discriminant... solutions... factorisation...

[invitef5dc7e34]

Merci beaucoup MS.11 est-ce que les démonstrations sont à connaitres juste ?
Et un résultat peut-il être comme ça : 3 ( x - 4 ) ( x - 9 )
Et quel est la démarche si on a une expression du genre : ax^3+x^2+2x+cx+d
Et pour résoudre et pour factoriser ?

[danyvio]

Et surtout la méthode pour factoriser n'importe quel degré de polynome.

Vaste programme ! Contente toi des polynomes de degré 2 ou 3, voire 4. A partir de 5, se posent d'autres problèmes...

[A voir en vidéo sur Futura]

[MS.11]

Toutes les démonstrations sont à connaitre : elles peuvent faire l'objet d'une restitution organisée de connaissance au bac par exemple (ROC).

Ensuite, oui l'expression que tu donnes peut très bien etre la forme factorisée d'un polynôme.

Et pour finir, les polynômes de degré 3 ne se résolvent pas au lycée. Enfin pas tous. Tu peux trouver une solution évidente et factoriser. Ainsi tu fais une identification des coefficients et tu t'en sors. Mais tu auras le temps d'y penser. Restons dans le second degré !

http://forums.futura-sciences.com/thread12936.html

Ca c'est pour résoudre n'importe quel polynôme de degré 3.

En passant la forme factorisée de est :



Voilà ! Si tu as d'autres questions.

[invitef5dc7e34]

Encore une fois merci mais comment trouve-t-on les racines d'un polynome de degré 3.
( le lien n'est pas tres claire, le théorem de Sturm ... )
J'aimerais une methode simple et clair

[invitef5dc7e34]

Est-ce que c'est toujours b²-4ac pour le discriminant d'un polynome du 3è degré.
Et est-ce que les solutions sont toujours : ( -b + racine de delta )/2a et ( -b - racine de delta )/2a

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Est-ce que c'est toujours b²-4ac pour le discriminant d'un polynome du 3è degré.
Et est-ce que les solutions sont toujours : ( -b + racine de delta )/2a et ( -b - racine de delta )/2a

Pour le degré 3, on rencontre souvent la méthode de Cardan.

Sinon, je pense que pour la résolution du degré 3 au lycée consiste à trouver une racine évidente puis à simplifier l'écriture...
Le principe est le suivant :
P(x) = ax³ + bx² + cx + d = 0

Soit x₁ la racine évidente.
Tu peux dès lors factoriser par (x - x₁)
Tu as : P(x) = (x - x₁)(a'x² + b'x + c')

En développant cette expression, on retrouve un polynôme du troisième degré.
Une simple identification des coefficients permet de retrouver les valeurs de a', b' et c'.
Le polynôme a'x² + b'x + c' peut éventuellement se factoriser à l'aide soit du discriminant ou d'autres racines évidentes...

Duke.

[MS.11]

Ca se voit pas au lycée. Je suis pas capable de te répondre. Mais y a des gens bien plus compétants qui se feront une joie. Mais c'est peut être un poil compliqué au niveau du lycée ...

En tout cas, certains polynômes de degré trois se factorisent : exemple



Tu as donc 0 comme solution et celles du polynome du second degré dans la paranthèse.

Si tu prends :





-1 est solution évidente.
On factorise



On développe l'expression :



On arrange un peu :



Par identification des coefficients on a :



Tu obtiens :

Et les solutions sont montré plus haut et celles du polynôme . Or ce dernier polynôme n'admet aucune solution dans . Donc admet une unique solution.

Tu as là un exemple simple de factorisation par une des solutions et d'identification des coefficients pour trouver un polynôme équivalent.

Devancé par Duke Alchemist, mais j'ai fait un résumé plus clair !! lol !!

[invitef5dc7e34]

Ben en faite, j'ai une fonction F(x)= -2x^3+7x²+2x-7
Et on me demande de vérifier que F(x)= (1-x²) (2x-7)
Et je ne vois pas du tout comment faire.
J'ai pas compris les histoire de racine évidente ... :S

[danyvio]

Ben en faite, j'ai une fonction F(x)= -2x^3+7x²+2x-7
Et on me demande de vérifier que F(x)= (1-x²) (2x-7)
Et je ne vois pas du tout comment faire.
J'ai pas compris les histoire de racine évidente ... :S

Une racine évidente est censée te sauter aux yeux. En fait, ce sont souvent de petites valeurs de la variable (1, -1, 2, -2...) qui te permettent de calculer la fonction "de tête". Dans ton cas, si tu remplaces x par 1, tu obtiens bien 0, sans utiliser ta calculette
Ce qui signifie que ton polynome est divisible par (x-1)
D'une manière générale, et tu dois le savoir PAR COEUR, quand un polynome a une racine r (évidente ou non!), ce polynome est divisible par (x - r).
Tu effectues une division du polynome initial par (x -r) (sais-tu faire ?) et tu obtiens un polynome de degré inférieur de une unité. Et tu recherches à nouveau une racine évidente si nécessaire.

[invitef5dc7e34]

Effectivement, ca fait bien 0 mais si la racine n'est pas évidente comment la trouver ?
Et quand tu dis sais-tu diviser un polynome, ca depend si le mot diviser, je ne sais pas si je sais car je ne l'ai jamais fais sur un polynome ^^
Et pourquoi est-il divisible par ( x -1 ) et non pas 1 tout court ?
Désolé mais cette année moi et les math on fait 3.

[danyvio]

Disons pour faire simple à ton niveau : divisier un polynome par (x -r) c'est mettre (x - r) en facteur....

[invitef5dc7e34]

D'accord merci vous avez répondu à presque toutes mes questions, si vous voulez continuez à m'aider
Aidez moi sur mon post consacré à mon devoir maison sur ce sujet.
Maintenant je post là-bas.

[orpheu48]

Bonjour,

En 1ère, on est censé connaitre par coeur la formule
P(x) = ax² + bx + c peut se factoriser en
a(x-x')(x-x") , x' et x" en étant les radicaux, càd les solutions de l'équation P(x) = 0
lorsque b²-4ac > 0 .
Je comprends facilement que toute expression de forme (x-x') (x-x") est égale à 0 si x' ou x" est nul,
car une des deux parenthèses est alors nulle, ainsi que, par suite, toute formulation où elle est multipliée par un réel quelconque.
Mais comment arrive-t-on à a(x-x')(x-x"), a étant le coefficient de X² dans l'écriture ax² + bx + c ?
La formule est donnée comme à savoir par coeur dans un livre de cours que je viens d'acheter, mais n'est pas établie (démontrée).
Il en est de même pour la forme canonique, que j'ai pu avec quelques efforts établir dans le cas général (càd hors valeurs numériques),
mais pour la forme factorisée ci-dessus je cale.
J'ai 68 ans, je me remets aux maths pour le plaisir, et je trouve dommage que les livres de cours donnent parfois des formules
à savoir par coeur sans les démontrer. Ce n'est pas très satisfaisant pour l'esprit.
Merci à qui me donnera le calcul littéral.
Salut bien,
Orph

[gg0]

Ben en faite, j'ai une fonction F(x)= -2x^3+7x²+2x-7
Et on me demande de vérifier que F(x)= (1-x²) (2x-7)
Et je ne vois pas du tout comment faire.
J'ai pas compris les histoire de racine évidente ... :S

Pas besoin ici de racines évidentes, on te demande seulement de développer le second membre pour retrouver le premier. Exactement comme tu vérifies que 91=13x7.

Bien lire les énoncés et ne pas aller chercher des complications est le début de la sagesse. En plus, en maths, utiliser son intelligence, faire fonctionner ses neurones, ...

Cordialement.

NB : Factoriser est difficile, parfois impossible; développer (et donc vérifier les factorisations) est automatique.

[Dynamix]

Bien lire les énoncés et ne pas aller chercher des complications est le début de la sagesse.

La patience aussi ...
Neuf ans pour obtenir une réponse

[gg0]

Aie ! J'ai suivi bêtement Orpheu48.

Mais ça peut lui servir, à lui aussi !

Cordialement.