Déterminer le signe d'un polynôme du troisième degré.

neokiller007 · 06/10/2007 - 17h56

Salut,

J'ai g(x)=x³-3x-3
Je dois déterminer son signe sur R

Donc il faudrait factoriser pour le mettre sous forme d'un produit, mais trouver une racine d'un polynôme du troisième degré je ne sais pas (encore?) faire.

Mais avant cette question j'ai démontré que g(x) admet dans R une solution unique que l'on note $\alpha$ et j'ai donné une valeure approchée à 10^-2 près.

Donc j'ai fait:
$g(x)=(x-\alpha)(x^2+\frac{3}{\alpha})$

$x-\alpha=0$ <=> $x=\alpha$

$x^2+\frac{3}{\alpha}=0$ pas de solution (comment justifier?)

Je fais le tableau de variation:
$<br /> \begin{tabular}{|c|ccccc|}x&-\infty&&\alpha&&+\infty\\\hlin e x-\alpha&&-&0&+&\\\hline x^2-\frac{3}{\alpha}&&+&&+\\\hline g(x)&&-&0&+&& \\\end{tabular}$

A votre avis c'est comme ça qu'il faut faire?
Merci de votre aide.

ps:Sinon j'ai une petite question, j'ai un peu honte mais bon:
Résoudre x²+1=0
Y a pas de solution, oui, mais pourtant je peux faire:
x²=-1
<=> $|x|=sqrt{-1}$
Donc elle est où l'erreur?

carla tm · 06/10/2007 - 18h02

Pour ta petite question un carré n'est jamais négatif donc tu n'a pas le droit d'écrire x²=-1.

bye

danyvio · 06/10/2007 - 18h12

As-tu étudié les dérivées ? Et en quelle classe es-tu ? Ce n'est pas une question indiscrète, mais le réponse permet de cibler notre aide, sans entrer dans des considérations d'un niveau hors programme !

danyvio · 06/10/2007 - 18h15

Envoyé par neokiller007

$x^2+\frac{3}{\alpha}=0$ pas de solution (comment justifier?)

Pourquoi n'y aurait-il pas de solution ? $\alpha$ est (peut-être) négatif, auquel cas tout va bien..

neokiller007 · 06/10/2007 - 18h35

Je suis en TS.
J'ia oublié de préciser que $\alpha$ est positif.

JAYJAY38 · 06/10/2007 - 18h38

Envoyé par neokiller007

Salut,

J'ai g(x)=x³-3x-3
Je dois déterminer son signe sur R

Donc il faudrait factoriser pour le mettre sous forme d'un produit, mais trouver une racine d'un polynôme du troisième degré je ne sais pas (encore?) faire.

Mais avant cette question j'ai démontré que g(x) admet dans R une solution unique que l'on note $\alpha$ et j'ai donné une valeure approchée à 10^-2 près.

Donc j'ai fait:
$g(x)=(x-\alpha)(x^2+\frac{3}{\alpha})$

$x-\alpha=0$ <=> $x=\alpha$

$x^2+\frac{3}{\alpha}=0$ pas de solution (comment justifier?)

Je fais le tableau de variation:
$<br /> \begin{tabular}{|c|ccccc|}x&-\infty&&\alpha&&+\infty\\\hlin e x-\alpha&&-&0&+&\\\hline x^2-\frac{3}{\alpha}&&+&&+\\\hline g(x)&&-&0&+&& \\\end{tabular}$

A votre avis c'est comme ça qu'il faut faire?
Merci de votre aide.

ps:Sinon j'ai une petite question, j'ai un peu honte mais bon:
Résoudre x²+1=0
Y a pas de solution, oui, mais pourtant je peux faire:
x²=-1
<=> $|x|=sqrt{-1}$
Donc elle est où l'erreur?

Tu es parti dans le bon sens mais tu as oublié quelque chose.

Il faut partir de $g\left(x \right)=\left(x-a \right)\left(b{x}^{2}+cx+d \right)$

A partir de ceci tu pourras trouvé $a,b,c$ et $d$

neokiller007 · 06/10/2007 - 18h43

Envoyé par JAYJAY38

Tu es parti dans le bon sens mais tu as oublié quelque chose.

Il faut partir de $g\left(x \right)=\left(x-a \right)\left(b{x}^{2}+cx+d \right)$

A partir de ceci tu pourras trouvé $a,b,c$ et $d$

Hein?
Mais je ne veux ni a ni b ni c ni d.
Je veux juste déterminer le signe de g.

JAYJAY38 · 06/10/2007 - 19h34

Envoyé par neokiller007

Hein?
Mais je ne veux ni a ni b ni c ni d.
Je veux juste déterminer le signe de g.

OK

Avec cette méthode tu trouves :

$g\left(x \right)=(x+a)({x}^{2}-ax-\frac{3}{a})$

Si tu fais la résolution entière tu trouves $a=-2,1038340274$

d'où $g\left(x \right)=(x-2,1038)({x}^{2}+2,1038x+1,4260 )$

JAYJAY38 · 06/10/2007 - 19h40

Pour ${x}^{2}=-1$ tu verras plus tard que l'on fait la résolution par les complexes. Les réels c'est R, pour les complexes c'est C.

Pour les complexes, on pose un nombre imaginaire tel que ${i}^{2}=-1$

neokiller007 · 06/10/2007 - 19h48

Envoyé par JAYJAY38

OK

Avec cette méthode tu trouves :

$g\left(x \right)=(x+a)({x}^{2}-ax-\frac{3}{a})$

Si tu fais la résolution entière tu trouves $a=-2,1038340274$

d'où $g\left(x \right)=(x-2,1038)({x}^{2}+2,1038x+1,4260 )$

Oui mais ça c'est une valeure approchée de $\alpha$ .
Et j'ai dit que j'avais une valeure approchée à 10^-2 près (c'était une question).

Donc j'ai juste?

Sinon ok pour les complexes.

danyvio · 07/10/2007 - 10h25

Si on te demande seulement le signe de g(x) (sans demander la résolution de g(x) = 0) , étant donné que $(x^2+\frac{3}{\alpha})$ est toujours positif, puisque d'après ton post $\alpha$ est > 0, tu n'as que le signe de $(x-\alpha)$ à étudier.

neokiller007 · 07/10/2007 - 10h27

Ok, donc c'est bon.
Merci.

neokiller007 · 07/10/2007 - 10h33

J'hésite à ouvrir une nouvelle discutions mais si je n'ai pas de réponse je le ferais.

Je dois démontrer que que le signe de f'(x) est le même que celui de g(x) sur $]1;+\infty [$

Comme donnée j'ai:
-f la fonction définie sur $]1;+\infty [$ par $f(x)=\frac{2x^3+3}{x^2-1}$
-g la fonction définie sur R par $g(x)=x^3-3x-3$

avant cette question on a:
-Etudier le sens de variation de g sur R
-Démontrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution $\alpha$ sur R. On l'a encadré à 10^-2 près: 2.10< $\alpha$ <2.11
-Déterminer le signe de g sur R. J'ai le tableau de signe suivant:
$<br /> \begin{tabular}{|c|ccccc|}x&-\infty&&\alpha&&+\infty\\\hlin e x-\alpha&&-&0&+&\\\hline x^2-\frac{3}{\alpha}&&+&&+\\\hline g(x)&&-&0&+&& \\\end{tabular}$

Je ne vois pas trop comment m'y prendre.
J'ai calculer f'(x):
$f'(x)=\frac{2x^4-6x^2+6x}{(x^2-1)^2}$
Mais après je ne sais pas quoi faire....

Merci de m'aider.

JAYJAY38 · 07/10/2007 - 11h18

Envoyé par neokiller007

J'hésite à ouvrir une nouvelle discutions mais si je n'ai pas de réponse je le ferais.

Je dois démontrer que que le signe de f'(x) est le même que celui de g(x) sur $]1;+\infty [$

Comme donnée j'ai:
-f la fonction définie sur $]1;+\infty [$ par $f(x)=\frac{2x^3+3}{x^2-1}$
-g la fonction définie sur R par $g(x)=x^3-3x-3$

avant cette question on a:
-Etudier le sens de variation de g sur R
-Démontrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution $\alpha$ sur R. On l'a encadré à 10^-2 près: 2.10< $\alpha$ <2.11
-Déterminer le signe de g sur R. J'ai le tableau de signe suivant:
$<br /> \begin{tabular}{|c|ccccc|}x&-\infty&&\alpha&&+\infty\\\hlin e x-\alpha&&-&0&+&\\\hline x^2-\frac{3}{\alpha}&&+&&+\\\hline g(x)&&-&0&+&& \\\end{tabular}$

Je ne vois pas trop comment m'y prendre.
J'ai calculer f'(x):
$f'(x)=\frac{2x^4-6x^2+6x}{(x^2-1)^2}$
Mais après je ne sais pas quoi faire....

Merci de m'aider.

Tu dois avoir une erreur de dérivée car sans calculer tu dois retrouver $g(x)$ au numérateur.

De tête : $f'(x)=\frac{2x.g(x)}{{{x}^{2}-1}^{2}}$

JAYJAY38 · 07/10/2007 - 11h21

Je réécris f'

$f'(x)=\frac{2x.g(x)}{{({x}^{2}-1)}^{2}}=\frac{2(3{x}^{3}-3x-3)}{{({x}^{2}-1)}^{2}}$

Déterminer le signe d'un polynôme du troisième degré.

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Re : Déterminer le signe d'un polynôme du troisième degré.

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