La série harmonique...

[Sarasvatî]

J'ai un probléme avec cet exercice...
On a une suite definie par: S_n= 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n
1) son sens de variation
J'ai trouvé que Sn est croissante.
2) montrer que pour tout n>1, S_2n>1/2 +S_n
3) montrer que cette suite ne peut pas converger.
J'ai du mal avec les deux dernieres questions, j'ai commencé un raisonnement par récurrence pour la question 2, mais je ne sais pas is je suis sur la bonne voie...
Pouvez vous m'aider...?!
Merci

[ced-29]

S(2n) = S(n) + 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/2n
et 1/2n > ... > 1/(n+2) > (1/n+1)
donc
S(2n) > S(n)+n*1/2n

[Flyingsquirrel]

Salut,

pour la 2° la récurrence n'est pas nécessaire, tu peux le faire en exprimant en fonction de ...

[Sarasvatî]

Merci pour votre aide!
Pour la question 3, doit on utiliser le théoréme des "gendarmes"?

[ced-29]

Mais non.
Fais le par l'absurde.
Si ta suite converge vers n en +, elle atteindra n+1/2 en 2*+ , ce qui est absurde.
La suite ne peut donc pas converger

[Antho07]

Mais non.
Fais le par l'absurde.
Si ta suite converge vers n en +, elle atteindra n+1/2 en 2*+ , ce qui est absurde.
La suite ne peut donc pas converger

On trouve 2 limites différentes or il ya unicité de la limite donc c'est absurde.

L'unicité de la limite se montre tres facilement.

VOici la preuve si t'es pas convaincu

Je n'écris pas la démo comme il le faudrait avec des epsilons et tout mais cela donnera l'idée.

On suppose qu'une suite Un admet 2 limites l et l'.

ALors lorsque n tend vers l'infinie,

|Un-l| tend vers 0
|Un-l'| tend vers 0

donc |l-l'|=|l-Un+Un-l'|<= |l-Un|+|Un-l'|

or lorsque n tend vers l'infinie,

on a |l-Un|+|Un-l'| qui tend vers 0+0=0

or une valeur absolue etant positive on a:

0<=|l-l'|<=0

et par le théoreme des gendarmes
|l-l'|=0 soit l=l'

il ya unicité de la limite.

[Sarasvatî]

tu veux dire que lim Sn= n + 1/2 quand n--> 2(+infini)?

[kaiswalayla]

Remarque: désigne l'indice qui tend vers ;
la limite éventuelle fixe de la suite ne doit donc pas être notée par la lettre désignant l'indice lui variable !

Comme il vient:

. **

Donc si , vers qui tend chacun des deux membres de l'inégalité ** ?
D'où la contradiction.