devoir maths TS équation différentielle

[titejeny8509]

la fonction f est dérivable sur ]0,1] et sa dérivé est f'(x)=x/(x+1)²

[Tonton Nano]

la fonction f est dérivable sur ]0,1] et sa dérivé est f'(x)=x/(x+1)²

Oui.
Quelles sont les variations de f ? qu'en déduit-on pour son signe ?

[titejeny8509]

f est strictement croissante donc positive

[titejeny8509]

ln(x+1)-(x/x+1) >0

donc ln(x+1)> x/x+1

[Tonton Nano]

f est strictement croissante donc positive

C'est pas parce qu'elle est croissante qu'elle est positive !!!!!
Elle est bien strictement croissante mais il me manque une justification pour en déduire qu'elle est positive.

[titejeny8509]

avec les limites de f

[Tonton Nano]

avec les limites de f

Une seule, en l'occurrence ...

[titejeny8509]

je trouve lim de f(x)quans x tend vers 0 = 0 et f(1)=ln2-(1/2) environ = 0,19
donc f est positive

[Tonton Nano]

je trouve lim de f(x)quans x tend vers 0 = 0 et f(1)=ln2-(1/2) environ = 0,19
donc f est positive

Oui, mais celle en 1, on s'en fout ! on sait que la fonction est strictement croissante, donc, si sa valeur minimale est positive, alors la fonction est positive.


Et comme on l'a étudié sur ]0;1], qu'elle est strictement croissante et que la limite en 0 est 0, on peut dire que la fonction est STRICTEMENT positive sur ]0;1]

[titejeny8509]

en déduire que (1/lambda)ln(1+lambda) >ou= 1/2
on utilise donc ln(lambda+1)>lambda/(lambda+1)
mais je ne trouve pas de relation

[Tonton Nano]

en déduire que (1/lambda)ln(1+lambda) >ou= 1/2
on utilise donc ln(lambda+1)>lambda/(lambda+1)
mais je ne trouve pas de relation

Ecris que 0 < lamdba <= 1
et cherches un encadrement de 1 / (lambda + 1)

[titejeny8509]

1> 1/(lambda+1) >= 1/2

[Tonton Nano]

1> 1/(lambda+1) >= 1/2

Oui, maintenant, il faut trouver une inégalité entre 1/(lambda+1) et ce que tu cherches

[titejeny8509]

je cherche mais je ne trouve pas

[Tonton Nano]

je cherche mais je ne trouve pas

Tu sais que (je note lambda = x parce que ca va plus vite !)

ln(x+1)> x/x+1

et tu cherches une inégalité avec
1/x ln(x+1) ...

Il y a UN truc à faire.