Limite de logarithme

[MiMoiMolette]

Bonsoir,

J'ai peut-être l'air nouille, mais ça fait longtemps que je n'ai pas fait ce genre de trucs...

J'suis tombée sur ça en feuilletant les concours de la fonction publique (niveau terminale il paraît, non ?)

x+ln(x²-1)
Calculer la limite en (ensemble de définition tout ça, ok)

Je vous mets ce que j'ai fait :


Comme x est négatif, ça peut ramener à résoudre avec y = -x, y tend vers

Donc la fraction tend vers 0 (limite du cours de term : e^x/x etc).
Donc lim =


La question est : y aurait-il plus simple pour démontrer la limite ?

Mici,

[anonymus]

Bonsoir.
x+ln(x^2-1) = ln(e^x)+ln(x^2-1) = ln(e^x(x^2-1))

Une fois arrivé là, e^x(x^2-1) tend vers 0 quand x tend vers -infini.
Donc le ln tend vers -infini.

Jcomprends pas ton truc avec y et x. Pourquoi x est négatif ?

[Universus]

Salut à tous,

Je voulais savoir si cette démarche pourrait fonctionner aussi? Elle n'est pas plus simple, mais bon, par curiosité (désolé, je ne veux pas non plus pollué ton fil...)

Si nous faisons la dérivée première de ta fonction, qu'on nomme disons f(x), on obtient :



Alors, si on fait la limite de cette quantité pour :



Donc, vu qu'à l'infini, f(x) "progresse" toujours de la même façon que la fonction g(x) = x, peut-on dire que la fonction f(x) vaut à la limite?

Merci

[Universus]

Resalut,

Anonymus, je pense que tu as commis une erreur. Il s'agit d'une forme indéterminée qui ne permet pas de dire quoique ce soit de plus. Mais il me semble que l'expression donne aussi la forme indéterminée , alors finalement, je ne vois vraiment pas comment procéder...

PS : dans mon message précédent, cest la limite quand x tend vers - l'infini de f'(x) qui égale 1 et pas celle de f(x)

[Syracuse_66]

Non, c'est bien ça. Tu as dû voir dans ton cours que l'exp l'emporte sur toute puissance de x au voisinage de l'infini.

N.B : on écrit plutôt e^y avec y-> infini que e^infini

[Universus]

Alors toutes mes excuses.

[TitBoulet]

Alors toutes mes excuses.

Salut,
je pense que tu veux parler de la règle de l'Hopital.
On peut aussi utiliser les développements limités il me semble.

Enfin bref, la réponse d'anonymus reste la plus simple et est vraiment niveau terminale (comparé au autres méthodes citées).

[MiMoiMolette]

Ah ? on le voit en terminale que l'exponentielle l'emporte sur les polynômes ?

Mon passage faisait appel à une limite connue dans le cours : e^y/y tend vers l'infini quand y tend vers +l'infini, donc y/e^y tend vers 0. Pareil pour 1/e^y. (décomposer la limite en deux)

Et x est négatif puisqu'on marche vers - l'infini.

Pour Universus : c'est une discussion, pas un chemin droit et balisé :P
Par contre, on pourrait certes marcher par équivalents, mais avec une dérivée, j'avoue n'avoir jamais vu ça. Mais c'est ptet correct ^^ Je recherche vraiment une méthode terminale

[benjy_star]

En term, on voit que la limite de x^n.e^x en - l'infini c'est zéro. C'est un résultat de cours, mais en général les profs leur parlent des croissances comparées pour mieux mémoriser/comprendre.

Mais théoriquement, c'est juste à apprendre il me semble.

[MiMoiMolette]

Oki, merci ! ^^

Si quelqu'un a une méthode de résolution plus simple, qu'il n'hésite pas ...

Joyeux nowel à tous =)

[Gwyddon]

Je reviens sur ce fil pour proposer une autre méthode :



Ce qui est dans la parenthèse tend vers 1 car la fraction tend vers zéro par croissance comparée. D'où le résultat.

On a dit qu'il fallait ne pas hésiter, donc je n'hésite pas

[MiMoiMolette]

Ah oui,

Et croissance comparée...

Merci le guidon c'est beaucoup plus rapide =)