Barycentre

[kathleen15]

bonsoir a tous
j'ai un exercice a faire sur les barycentre ,l'exercice parait simple mais je bloque a une question
enonce ABCD est un parallelogramme G designe le barycentre de (A;2) et (B;1) et H celui de (C;2) (D;1)
1) demontrer que les segments [AC] [BD] [GH] ont le meme milieu I
2)les droites AC et GD se coupent en E demontrer que E est le barycentre de (G;3) et (D;1) ainsi que le milieu de AI
Mes reponses
1)(A;2) et (C;2) ont un meme milieu car alpha=beta
et (B;1) et (d,1) ont le meme milieu car alpha=beta
puique G est le barycentre de (A;2) et (B;1) donc G est barycentre de (G;3)
et puisque H est le barycentre de (C,2) (D;1) donc H est le barycentre de (H;3)
donc (G,3) et (H,3) ont un meme milieu car alpha=beta
de plus etant donne que c'est un parallelogramme donc les diagonales se coupent en leur milieu le point I donc [AC] et [BD] ont le meme milieu
cependant je ne trouve pas le lien entre [AC] ,[BD et [GH] donc je pense que ma reponse est fausse
2) pour cette question je n'arrive pas a le demontrer
voila merci d'avance pour votre aide

[kathleen15]

s'il vous plait est ce que quelqu un pourrait m'aider
merci

[kathleen15]

s il vous plait
merci

[tkiteasy]

Bonsoir,

Tes réponses sont confuses!
D'où viennent alpha et beta?
Que signifie, dans ton esprit, G est barycentre de (G;3) ? (pas de sens)
Que siginifie (A;2) et (C;2) ont un meme milieu? (pas de sens non plus, on ne parle pas du milieu d'un point, même pondéré)

"c'est un parallelogramme donc les diagonales se coupent en leur milieu le point I donc [AC] et [BD] ont le meme milieu " ça c'est bon.
Ta réponse devrait commencer là.

Ensuite, intuitivement, j'irais tatonner du thalès, règle de proportion en observant que les pondérations de A, B, C et D sont favorables.

Même chose pour la question 2 en faisant les bonnes remarques sur G

[kathleen15]

pardon mais je ne comprends pas tres bien comment utiliser thales avec des barycentres pourrait tu m'aider pour le premier et j'essayerai de faire la deuxieme
merci

[kathleen15]

si on utilise thales ca nous donnerait
1) IG/IH=IA/IC=AG/HC
Le probleme c'est que l'on connait uniquement AG/HC qui est donc 1 car AG=HC=1/3
et la comment faire
et puis thales c'est pour calculer une longueur ou montrer que 2 droites sont parallele donc pourquoi utilise t on thales
merci

[kathleen15]

s'il vous plait
merci

[kathleen15]

pouvez vous m'aider s il vous plait

[kathleen15]

personne ne comprend il n y a que 2 questions
merci

[kathleen15]

allez soyez gentil

[kathleen15]

juste pour le premier
mrci

[tkiteasy]

Bonjour,

Démontrer que I est le milieu de GH c'est démontrer que
(en notation vectorielle)
IG + IH =0

Il faut exprimer IG et IH
IG = IA + AG
IH = IC + CH

or I milieu de AC donc IA + IC =0

donc IG + IH = IA + AG + IC + CH = AG + CH
d'autre part
AG = 1/3 AB
CH = -1/3 DC
AB = DC (parallèlogramme)
donc AG = -CH
donc
IG + IH = 0 <=> I milieu de GH

[tkiteasy]

A propos de ta réponse, j'ai relu et j'ai enfin compris ce que tu voulais dire.
(G;3) et (H;3) t'as donné l'impression que le barycentre est I milieu de G et H. Mais ce n'est pas exact: on ne demande pas : I est-il barycentre de (G;3) et (H;3) mais est-il milieu de G et H. Si j'applique un poid de 3 à H et 5 à G par exemple, il n'empèche que le milieu de de G et H est toujours I.
Ce que je veux dire, c'est que les poids 3 que tu appliques à G et H sont résultats de toon calcul de barycentre de (A;2) et (B;1) puis INDEPENDAMMENT de (C;2) et (D;1).
dit autrement:
Si au lieu de (C;2) et (D;1) on avait donné par exemple (C;20) et (D;10) tu aurais obtenu la même position de H avec un poid (H;30). Mais le milieu [GH] n'aurait pas changé. Il y a bel et bien deux exercices différents dans la réponse: 1 la détermination de la position de G et H, et 2 la démonstration que I est milieu de [GH]

[tkiteasy]

Pour la deuxième question, la parallèle à DG passant par J de [AB] tel que GJ = AG = 1/3 AB passe également par K de [DC] et par construction DK = 1/3 DC.
On se retrouve dans le même cas de figure que pour [GH] mais symètriquement: (1/3, 2/3) sur AB et (2/3,1/3) sur DC sont maintenant (2/3,1/3) sur AB et (1/3,2/3) sur DC . Donc I est le milieu de [JK]
Par Thalès, AG = GJ donc par la

[tkiteasy]

Pour la deuxième question, la parallèle à DG passant par J de [AB] tel que GJ = AG = 1/3 AB passe également par K de [DC] et par construction DK = 1/3 DC.
On se retrouve dans le même cas de figure que pour [GH] mais symètriquement: (1/3, 2/3) sur AB et (2/3,1/3) sur DC sont maintenant (2/3,1/3) sur AB et (1/3,2/3) sur DC . Donc I est le milieu de [JK]
Par Thalès, AG = GJ implique par la segmentation par droites parallèles que AE = EI. Donc E milieu de AI.

ensuite:
il faut démontrer que 3 EG + ED = 0
EG = EA + AG
ED = EC + CD
donc
3EG + ED = 3 EA + 3AG + EC + CD

Or AG = 1/3 AB (première question) et CD = -AB (parallèlogramme)
donc 3EG + ED = 3EA + EC + 3(1/3AB) - AB = 3EA + EC

Comme E est milieu de [AI] et I milieu de [AC] alors AE = 1/4 AC donc E est barycentre de (A;3) et (E;1).
Donc 3EA + EC = 0
Donc 3 EG + ED = 0

Conclusion: E est barycentre de (G;3) et (H;1)