Equation différentielle

audrey53v · 19/01/2008 - 23h42

Bonjour! Pouvez-vous m'aider pour cet exercice svp :

On considère l' équation différentielle : (E): y'-3y=sin x

Résoudre, sur R, l'équation sans second membre associé:
(E0): y'-3y=0

Déterminer des réels a et b de sorte que la fonction p définie sur R par:
p(x)=acosx+bsinx
soit solution de (E) sur R.

Démontrer que f est une solution de (E) sur R si et seulement si f - p est une solution de (E0) sur R.

En déduire les solutions de (E) sur R.

Donc j'ai commencé le début mais je suis bloquée pour la suite:

y'-3x=0
y'=3y
Les solutions sont de la forme: y=ke^3x

Flyingsquirrel · 20/01/2008 - 07h32

Salut,

OK pour la première question. Pour la deuxième, tu veux que $p$ soit solution de (E) donc tu y remplaces $y$ par $p$ et $y'$ par $p'$ et ça va te donner des conditions sur $a$ et $b$ .

audrey53v · 20/01/2008 - 10h17

Donc si je remplace y par p et y' par p' voila ce que je trouve:

p(x)=acosx+bsinx
p'(x)=-asinx+bcosx

y'-3y=sinx
-asinx+bcosx-3(acosx+bsinx)=sinx
-asinx+bcosx-3acos-3bsinx=sinx

Comment faire après?

MiMoiMolette · 20/01/2008 - 10h43

Plop,

Ben par identification...réunis tous les termes en sin et tous les termes en cos, sachant que de l'autre "côté" de l'équation, tu as 1*sin(x) + 0*cos(x)

Flyingsquirrel · 20/01/2008 - 10h49

Ensuite regroupe tous les sinus d'un côté, tous les cosinus de l'autre.

Tu obtiens une équation de la forme C₁sin(x) = C₂cos(x) qui est vraie pour tout réel x. Que peut-on en déduire sur C1 et C2 ?

Indice :

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EDIT : grillé

audrey53v · 20/01/2008 - 11h30

Si je fais par identification je trouve:
(-a-3b)sinx + (b-3a)cosx = 1sinx + 0cosx

-a-3b=1 -3a-9b=3 -8b=3 b=-3/8 a=1
-3a+b=0 -3a-b=0 -3a-b=0 a=1/8 b=-3

On trouve : p(x)= cosx - 3sinx

Et pour la suite ?

Flyingsquirrel · 20/01/2008 - 12h18

Tu as fait une erreur de calcul donc le résultat est faux.

(2e ligne, passage de -3a+b=0 à -3a-b=0)

Pour la suite il faut savoir qu'une solution de (E) se décompose en la somme d'une solution particulière de (E) et d'une solution de (E₀)

@MiMoiMolette : En terminale, on est capable de justifier l'utilisation de l'identification ? Ça fait intervenir de l'algèbre, non ?

MiMoiMolette · 20/01/2008 - 12h29

Euh...

Chais po, si on a a cosx+b sinx=c cosx + d sinx <=> (a-c)cosx + (b-d)sinx, alors a=c et b=d, c'est de l'algèbre ?

Et il ne faut pas dire de gros mot tel que "algèbre"

Flyingsquirrel · 20/01/2008 - 12h45

(a-c)cosx + (b-d)sinx=0, alors a=c et b=d

C'est ça qui me gène. Ça me parait un peu rapide et je ne pense pas que ça soit évident pour un terminale. (sauf à dire que sinus et cosinus ne peuvent pas se "compenser" mutuellement mais ça n'est pas super rigoureux)

Quand je disais "Algèbre" je parlais du cours sur les séries de Fourier où on montre que sinus et cosinus forment une famille libre ce qui permet de justifier ce que tu fais au dessus.

MiMoiMolette · 20/01/2008 - 12h53

Je dois avouer que je n'y connais pas grand-chose en algèbre linéaire et que "famille libre" représente pour moi un mot grossier

Enfin justement, il me semblait qu'en terminale ou première j'utilisais ce genre de choses... faut voir si audrey53v comprend =D

God's Breath · 20/01/2008 - 13h14

Envoyé par Flyingsquirrel

C'est ça qui me gène. Ça me parait un peu rapide et je ne pense pas que ça soit évident pour un terminale. (sauf à dire que sinus et cosinus ne peuvent pas se "compenser" mutuellement mais ça n'est pas super rigoureux)

Quand je disais "Algèbre" je parlais du cours sur les séries de Fourier où on montre que sinus et cosinus forment une famille libre ce qui permet de justifier ce que tu fais au dessus.

En terminale, on doit être capable d'écrire :

Si on a, pour tout $x$ , $(a-c)\cos x + (b-d)\sin x=0$ , alors, en particulier,
- pour $x=0$ , $(a-c)\cos 0 + (b-d)\sin 0=0$ , soit $a-c=0$
- pour $x=\frac{\pi}{2}$ , $(a-c)\cos \frac{\pi}{2} + (b-d)\sin \frac{\pi}{2}=0$ , soit $b-d=0$
donc $a=c$ et $b=d$

God's Breath · 20/01/2008 - 13h21

Envoyé par audrey53v

Déterminer des réels a et b de sorte que la fonction p définie sur R par:
p(x)=acosx+bsinx
soit solution de (E) sur R.

L'énoncé demande seulement des réels a et b de sorte que ...

L'identification conduit à trouver facilement de tels réels. Il n'est pas demandé de montrer que ce sont les seuls, ce qui est effectivement un tout petit peu (mais vraiment un tout tout petit peu) plus déclicat.

Flyingsquirrel · 20/01/2008 - 13h36

Envoyé par God's Breath

En terminale, on doit être capable d'écrire :
Si on a, pour tout $x$ , $(a-c)\cos x + (b-d)\sin x=0$ , alors, en particulier,
- pour $x=0$ , $(a-c)\cos 0 + (b-d)\sin 0=0$ , soit $a-c=0$
- pour $x=\frac{\pi}{2}$ , $(a-c)\cos \frac{\pi}{2} + (b-d)\sin \frac{\pi}{2}=0$ , soit $b-d=0$
donc $a=c$ et $b=d$

C'est exactement ce que j'ai suggéré au cinquième message.

Envoyé par God's Breath

L'énoncé demande seulement des réels a et b de sorte que ...

L'identification conduit à trouver facilement de tels réels. Il n'est pas demandé de montrer que ce sont les seuls, ce qui est effectivement un tout petit peu (mais vraiment un tout tout petit peu) plus déclicat.

Au temps pour moi

God's Breath · 20/01/2008 - 13h39

Envoyé par Flyingsquirrel

C'est exactement ce que j'ai suggéré au cinquième message.

Je n'avais pas lu la solution cachée.

Equation différentielle