Primitive de sin ² (x)

[agathe22kev]

Bonjour je suis actuellement en terminale S, et j'ai un petit exo : trouver la primitive de sin²x, mais je bloque

f(x) = sin ² (x)
= sinx sinx
Et après ??

J'ai sur quelques forums que sin²x = (1-cos2x)/2
J'ai vu un post, du coté des maths sup mais je comprends pas trop...
mais je ne vois pas du tout comment on en ait arrivé là.

Merci.

[Thibaut42]

as tu vu l'intégration par parties???

[Gwyddon]

Bonsoir,

En effet l'intégration par parties donne le résultat, mais bon c'est un peu l'artillerie lourde.

Agathe, tu ne sembles pas connaître tes formules de trigos, et ça, pas bien

Alors petites révisions ensemble.

cos(x+y)= ?

sin(x+y)= ?

cos(2x) = ?

sin(2x) = ?

Et enfin, comment exprimer sin(x)² et cos(x)² en fonction de cos(2x) ?


EDIT : 22 keV, ça vient d'où dans ton pseudo ? C'est ton énergie ?

[Thibaut42]

En effet, je sors le gros truc de mamouth alors qu'on peut faire plus simple en utilisant ces formules........
Et c'est surement ce qui est attendu ici...

[Gwyddon]

En effet, je sors le gros truc de mamouth

Le mammouth c'est dépassé, faut dire la sodomie de diptère maintenant

[agathe22kev]

cos(x+y)= ?

sin(x+y)= ?

cos(2x) = ?

sin(2x) = ?

Et enfin, comment exprimer sin(x)2 et cos(x)2 en fonction de cos(2x) ?



Donc je prends x et y comme des inderterminées comme a et b ?
d'après ce que j'avais vu en 1er ca donne :

cos(x+y) = cosxcosy - sinxsiny

sin(x+y) = cosxsiny + sinxcosy

mais pr cos2x et sin2x je bloque ?
vous pouvez me rappeler ?

elle va quand même pas me faire Ch**r cette Primitive !

[Cyp]

agathe, un petit peu d'imagination si dans cos(x+y) tu prends x=y cela te donne... cos(2x)

Sinon pour ta primitive de sin²(x) il faut "linéariser" c'est à dire faire apparaître du cosinus et du sinus sans puissances (pas de carré, cube)...

En fait tu peux démontrer (je pense que c'était l'intérêt des questions de Gwydon) que sin²(x)=(1-cos(2x))/2=1/2-cos(2x)/2 après tu intègres le 1/2 et le 1/2*cos(2x) séparémment et c'est bon...

[Gwyddon]

En effet Agathe, il serait bon quand même de réfléchir un tout petit peu plus, si x=y tu obtiens cos(2x) et sin(2x).. Et tu vois alors que tu peux exprimer cos(x)² en fonction de cos(2x)

Ce raisonnement tu dois le maîtriser parfaitement !

[agathe22kev]

cos(x+y) = cosxcosy - sinxsiny

sin(x+y) = cosxsiny + sinxcosy
donc
si x=y

cos(x+x) = cosxcosx - sinxsinx
cos(2x) = cos² x - sin² x


sin(x+x) = cosxsiny + sinxcosy
sin2x = cosxsinx + sinxcosx

[Gwyddon]

Très bien

Maintenant sachant que cos(x)²+sin(x)²=1, tu peux exprimer cos(x)² et sin(x)² en fonction de cos(2x)

[agathe22kev]

cos(2x) = cos² x - sin² x

sachant que cos²x +sin²x =1
sin²x = 1-cos²x
et cos²x=1-sin²x

donc cos2x = cos²x-1+cos²x
cos2x= 2cos²x-1

en fonction de sin²x
cos2x=1-sin²x-sin²x
cos2x=1-2sin²x

resultat de sin²x

cos2x-1=-2sin²x
1-cos2x=2sin²x
1/2(1-cos2x)=sin²x


C'est bon ?
A présent il faut que je trouve la primitive.

[Gwyddon]

C'est bon. Maintenant pour la primitive c'est quasiment du cours, donc pas d'indication autre que le fait que tu doives connaître les primitives des fonctions cosinus et sinus.

[Cyp]

Et la primitive d'une somme ou d'une différence, c'est la somme (respectivement la différence) des primitives...C'est comme pour la dérivation, sauf que là c'est l'opération "inverse"

[agathe22kev]

sin²x=1/2(1-cos2x)

La primitive de sin²x est F(x)=1/2(x-1/2sin2x) + k

ou encore F(x)=(1/2)x - (1/4)sin2x pour k =0

Bon ou pas ?

[rajamia]

sin²x=1/2(1-cos2x)

La primitive de sin²x est F(x)=1/2(x-1/2sin2x) + k

ou encore F(x)=(1/2)x - (1/4)sin2x pour k =0

Bon ou pas ?

c bon tu peux dormir