Exercice spé maths petit théorème de Fermat

[agathe22kev]

Bonsoir je vous présente mon exercice j'ai peut etre resolu la 1er question et je vous propose les autre, j'ai un peu de mal en spé maths.


Exercice :

Rappel : La propriété appelée " petit théorème de Fermat" est la suivante :
" Soit p un nombre premier et a un entier naturel premer avc p, alors
a^(p-1)-1 est divisible par p"

A. Montrer qu'il existe un entier naturel k, non nul tel que 2^k congru à 1 modulo p

B. Soit k un entier naturel non nul tel que 2^k congru à 1 modulo p et soit n un entier naturel.
Montrer que si, k divise n alors 2^n est congru à 1 modulo p

C. Soit b tel que 2^b congru à 1 modulo p, b étant le plus petit entier non nul vérifiant cette propriété.
Montrer, en utilisant la division euclidienne de n par b, que si 2^n congru à 1 modulo p, alors b divise n.




Merci d'avance, et allons étape par étape, je veux comprendre.

[Gwyddon]

Bonjour,

Dis-nous d'abord ce que tu as trouvé à la 1ère question, sinon on ne t'aidera pas.

[agathe22kev]

exact j'ai oublié de l'écrire desolé !
dans le théorème a^(p-1)-1 divisible par p, donc a^(p-1)-1 congru à 0 modulo p


Par identification par rapport au théorème de fermat a=2 et k=p-1, donc 2^(k) -1 congru à 0 modulo p
et donc 2^k congru à 1 modulo p.
est ce bon ?

[homotopie]

exact j'ai oublié de l'écrire desolé !
dans le théorème a^(p-1)-1 divisible par p, donc a^(p-1)-1 congru à 0 modulo p


Par identification par rapport au théorème de fermat a=2 et k=p-1, donc 2^(k) -1 congru à 0 modulo p
et donc 2^k congru à 1 modulo p.
est ce bon ?

Oui, cest bien ça.

Pour le B :
k divise n cela s'écrit aussi n=k.m pour un certain entier m.
k vérifie 2^k congru à 1 modulo p
A montrer que 2ⁿ est aussi congru à 1 modulo p.
Pour cela remplace n par k.m puis utilise les ^propriétés des puissances.

[Gwyddon]

Hello,

C'est juste si tu pense bien à dire que p est différent de 2 ; et pourquoi est-ce juste ? En fait il te manque une petite justification...

[homotopie]

Hello,

C'est juste si tu pense bien à dire que p est différent de 2 ; et pourquoi est-ce juste ? En fait il te manque une petite justification...

Oui, en effet, désolé pour cette inattention. (Maintenant dans l'énoncé donné je ne vois pas d'où va venir cette justification.)

[agathe22kev]

donc on a n=km pour m un entier relatif.
et 2^km congru à 1 modulo p
et ensuite ?

[Gwyddon]

Oui, en effet, désolé pour cette inattention. (Maintenant dans l'énoncé donné je ne vois pas d'où va venir cette justification.)

En effet, énoncé pas super bien posé...

[agathe22kev]

desolé mais j'ai recopié l'énoncé tel quel.
vous me proposez quoi pour le B ?

[Gwyddon]

vous me proposez quoi pour le B ?

Dis, tu n'essaierais pas de te payer notre tête ? homotopie t'a donné une indication déjà, nous on va pas te faire l'exercice

[agathe22kev]

J'ai trouvé,

Alors n = kk' pour k' entier naturel (non nul ou pas ?)

2^n congru à 1^n modulo p
2^kk' congru à 1^kk' modulo p
donc 2^n congru à 1 modulo p.

Est-ce bon ?

[MiMoiMolette]

Plop,

Non.

Il faut partir de l'hypothèse que 2^k est congru à 1 mod n et pas que 2^n est congru à 1 mod n.

Il est faux de dire que 2^kk' est congru à 1^kk', puisque ce n'est pas 2 qui est congru à 1 mod n...

[agathe22kev]

Pour la question C. je ne sais pas par ou commencer. pouvez vous m'aider ?

[Gwyddon]

Pour la question C. je ne sais pas par ou commencer. pouvez vous m'aider ?

As-tu réussi la question B déjà ?

Montre-nous et on te dira si c'est juste

[agathe22kev]

n = kk' pour k' entier naturel (non nul ou pas ?)

2^n congru à 1^n modulo p
2^kk' congru à 1^kk' modulo p
donc 2^n congru à 1 modulo p.