Difficultés calcul de Primitive

gmajax · 22/03/2008 - 12h39

Bonjour à tous,

Je pèche sur le calcul d'une primitive, car en effet, je trouve un résultat, mais il ne correspond pas aux résultats que me donnent différents programmes permettant de trouver des primitives (calculettes, etc...)

J'aimerai donc calculer la primitive de cette fonction :

f(x) = 1/(1-e^x)²

Voici la démarche que j'ai suivi pour aboutir à la primitive de cette fonction :

f(x) = 1/(1-e^x)² soit

f(x) = (1-e^x)^-2

La forme est donc U'Uⁿ = Uⁿ⁺¹/n+1

Donc u = 1- e^x et u' = -e^x

f(x) = (-e^-x) * (-e^x) * (1-e^x)^-2

On obtient alors la primitive :

F(x) = -e^-x * (1-e^x)^-1/-1

F(x) = e^-x/(1-e^x)

Mais ce résultat semble erroné, mais je ne vois pas du tout où pourrait être la faute.

Pourriez-vous m'aider à trouver où j'ai commis une erreur et pourquoi ?

Merci par avance et à bientôt.

MiMoiMolette · 22/03/2008 - 12h46

Salut,

La faute vient d'ici :

La forme est donc U'Un = Un+1/n+1

Elle n'est pas de cette forme, car la dérivée de 1-e^x par rapport à x est -e^x. Avec tes calculs d'après, on voit que tu fais apparaître la dérivée, ok, mais le "donc" reste incongru.

f(x) = (-e-x) * (-ex) * (1-ex)-2

On obtient alors la primitive :

F(x) = -e-x * (1-ex)-1/-1

La primitive d'un produit n'est pas le produit des primitives

Tu fais comme si e^(-x) était une constante là.

gmajax · 22/03/2008 - 13h02

Merci tout d'abord pour ta réponse très rapide MiMoiMolette.

Ok, mais donc là avec ce que tu me dis, je ne vois pas du tout qu'elle méthode employer pour arriver à la finalité de la question.

Donc jusqu'ici c'est bon c'est bien cela ?

f(x) = (-e-x) * (-ex) * (1-ex)-2

Mais ensuite ne faut-il pas appliquer la formule U'Uⁿ = Uⁿ⁺¹/n+1, du fait que l'on s'est ramené à une forme semblable ?

MiMoiMolette · 22/03/2008 - 13h14

Ben justement pour la méthode réelle, je sèche

donc je pourrai pas te dire si tes débuts sont bons ^^

God's Breath · 22/03/2008 - 13h30

Envoyé par gmajax

J'aimerai donc calculer la primitive de cette fonction :

f(x) = 1/(1-e^x)²

Je ne vois pas vraiment de méthode simple pour aborder ce calcul de primitive avec les moyens actuels du lycée.

Quande vois un carré au dénominateur, je pense immédiatement à $-\frac{u'}{u^2}$ dont une primitive est $\frac{1}{u}$
Ici il faut [tex]u = 1-e^x[t/ex], donc $u' = -e^x$ : une primitive de $\frac{e^x}{(1-e^x)^2}$ dont est $\frac{1}{1-e^x}$ .
J'écris donc $\frac{1}{(1-e^x)^2} = \frac{e^x}{(1-e^x)^2} + \frac{1 - e^x}{(1-e^x)^2} = \frac{e^x}{(1-e^x)^2} + \frac{1}{1-e^x}$ .

La dernière fraction est $\frac{1}{u}$ , et une primitive de $\frac{u'}{u} = \frac{-e^x}{1-e^x}$ est $\ln |u| = \ln |1-e^x|$
J'écris donc $\frac{1}{(1-e^x)^2} = \frac{e^x}{(1-e^x)^2} + \frac{1}{1-e^x} = \frac{e^x}{(1-e^x)^2} + \frac{e^x}{1-e^x} + \frac{1-e^x}{1-e^x} = \frac{e^x}{(1-e^x)^2} - \frac{-e^x}{1-e^x} + 1$ , dont une primitive est donc :
$\frac{1}{1-e^x} - \ln |1-e^x| + x$ .