[TS +] Arithmétique, somme des inverses

kidnapped · 24/03/2008 - 19h50

Bonsoir, j'aimerai savoir comment on démontre que la somme des inverses n'est pas un entier?

God's Breath · 24/03/2008 - 20h23

Pour tout entier $n \geq 2$ , il existe un unique entier $p \geq 1$ tel que $2^p \leq n <2^{p+1}$ , et on isole le terme $\frac{1}{2^p}$ dans la somme, afin d'écrire $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \frac{1}{2^p} + \frac{N}{2^{p-1}q}$ où $q$ est un entier impair.

Par suite $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \frac{q+2N}{2^pq}$ n'est pas entier puisque le numérateur est impair alors que le dénominateur est pair.

La seule valeur entière de la série harmonique est donc obtenue pour $n=1$ .

kidnapped · 24/03/2008 - 20h31

Bonsoir, je n'ai pas compris pourquoi on a ça et comment on le démontre

Envoyé par God's Breath

Pour tout entier $n \geq 2$ , il existe un unique entier $p \geq 1$ tel que $2^p \leq n <2^{p+1}$ , .

Ni pourquoi q est impair.
Merci

God's Breath · 24/03/2008 - 20h37

Envoyé par kidnapped

Bonsoir, je n'ai pas compris pourquoi on a ça et comment on le démontre
Ni pourquoi q est impair.
Merci

La suite des puissances de 2 : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, ... est strictement croissante. Tout entier n est compris entre deux termes et deux seulement de cette suite.

Comme $2^{p+1} = 2.2^p$ , parmi les dénominateurs de 1 à n, seul $22^p$ est multiple de $2^p$ . Si on l'isole, les dénominateurs auront au plus $2^{p-1}$ en facteurs et le dénominateur commun se factorise en $2^{p-1}q$ avec $q$ impair sinon il y aurait $2^p$ en facteur.

bubulle_01 · 26/03/2008 - 21h15

Je n'ai pas non plus trop compris où tu voulais en venir God's Breath.
Tu isoles les inverses des puissances de 2 c'est ca ?
Mais pour la suite, je ne vois pas trop ou tu veux en venir ...

God's Breath · 26/03/2008 - 21h27

Envoyé par bubulle_01

Je n'ai pas non plus trop compris où tu voulais en venir God's Breath.
Tu isoles les inverses des puissances de 2 c'est ca ?
Mais pour la suite, je ne vois pas trop ou tu veux en venir ...

Non je n'isole que la plus grosse puissance de 2.

Par exemple, si je vais jusqu'à n=10, j'isole $\frac{1}{8}$ et le calcule $$ \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} $ + \frac{1}{8}$

Lorsque je réduis au même dénominateur les termes entre parenthèses, il y a des dénominateurs multiples de 4, mais il n'y en a pas qui soit multiple de 8.
Le dénominateur commun est donc 4q avec q impair.

Ma somme est donc de la forme $\frac{N}{4q} + \frac{1}{8} = \frac{2N+q}{8q}$ avec le numérateur impair et le dénominateur pair : ce n'est pas un entier.

bubulle_01 · 26/03/2008 - 21h34

Ok !
Tu n'avais pas mentionné le fait que la puissance était maximale.
Cela va mieux comme ca

God's Breath · 26/03/2008 - 22h04

Envoyé par God's Breath

Pour tout entier $n \geq 2$ , il existe un unique entier $p \geq 1$ tel que $2^p \leq n <2^{p+1}$ , et on isole le terme $\frac{1}{2^p}$ dans la somme, afin d'écrire $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \frac{1}{2^p} + \frac{N}{2^{p-1}q}$ ...

Il me semble bien que $2^p \leq n <2^{p+1}$ définit $2^p$ comme la puissance maximale relativmente à l'entier $n$ auquel s'arrête la somme...