Calcul d'une intégrale ln(x)/x

imakuni · 14/06/2008 - 17h56

Voilà un moment que je bloque sur le calcul d'une intégrale, 3 jours avant le BAC, ça risque de ne pas le faire...
Donc en dernier recour, je m'adresse à vous en espérant recevoir rapidement une aide ^^.

Voilà l'intégrale en question: (bouuuh!)

J'ai essayé d'avancer comme ça, étant donné qu'une intégration par parties n'a pas l'air de passer sur cette intégrale:

et là je bloque =(.

Foetus · 14/06/2008 - 18h00

C'est beaucoup plus simple

Tu remarque que 1/x est la dérivée de Ln(x), tu as donc une fonction de la forme :

f(x) = u'(x)*u(x)

D'où, son intégrale :

F(x) = u²(x)/2

Donc dans ton cas : Ln²(x)/2

Flyingsquirrel · 14/06/2008 - 18h12

Salut

Attention, $\int_2^4 \frac{\ln x}{x}\,\mathrm{d}x \neq \int_2^4 \ln x\,\mathrm{d}x\int_2^4 \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ : l'égalité $\int_a^b f(x)g(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x$ est en général fausse ! Par exemple, pour $f(x)=g(x)=1$ , $\int_a^b f(x)g(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^b \mathrm{d}x=b-a$ alors que $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^b \mathrm{d}x\int_a^b\mathrm{d}x =(b-a)^2$ ...

Sinon, l'idée de l'intégration par parties n'est pas la plus rapide (cf le post de Foetus) mais elle mène tout de même au résultat. (on intégre $x\mapsto\frac{1}{x}$ et on dérive le log)