que veut dire le signe double valeur absolue?

debroglie66 · 09/08/2008 - 22h45

bonsoir!

je vais vous faire rire,j'ai repris les maths pour la physique et ai ainsi compris des notions de licence comme les intégrales multiples,dérivées partielles,transformées de Laplace et autre trigonométrie hyperbolique!
mais je n'ai pas trouvé dans mes livres la signification du signe genre double valeur absolue à savoir deux traits verticaux de chaque coté d'une valeur!
pouvez vous m'en donner la signification et me donner deux ou trois exemples?
merci d'avance!

bien amicalement!

Cassano · 09/08/2008 - 23h21

C'est une norme.
Dans $R^n$ , on définit trois types de norme : Norme 1, norme 2 et norme infini comme suit :

Soit X=(x₁, x₂, ..., x_n) appartenant à $R^n$ .
Alors ||X||₁= $\Sigma x_i$
||X||₂ = $sqrt(x_i^2)$
$||X||_{inf} = max(x_i)$

Le plus souvent, on utilise dans R³ la norme 2, qui correspond simplement à la longueur du segment géométrique.

taladris · 09/08/2008 - 23h23

Salut,

||x|| désigne la norme d'un vecteur x.

Cordialement

ethiop · 09/08/2008 - 23h28

Bonsoir,
je ne suis qu'au niveau bac, donc tout ce que je peux dire c'est qu'on note la norme (la longueur) d'un vecteur en disposant autour de ce vecteur des doubles barres. La norme est toujours positive car c'est une longueur, je suppose donc que c'est pour cela qu'on la note ainsi.

Scorp · 10/08/2008 - 00h12

Pour une définition plus large que ce qui a été donné, tu peux aller voir la page sur wikipedia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Norme_%...%A9matiques%29

On peux ainsi parler de norme pour des fonctions (on peut alors utiliser les intégrales) etc...

Contrairement à ce qu'à dit Cassano, on peut définir (même dans R^n) beaucoup plus que 3 normes.
Mais il est vrai que les 3 qu'il a cité sont les plus utilisées, notament la norme 2 puisque c'est une norme euclidienne (c'est-à-dire qui dérive d'un produit scalaire, donc très utile en physique)

Cassano · 10/08/2008 - 00h28

Oui je me suis mal exprimé. Je ne suis que physicien, donc je parle de celles qui sont susceptibles de m'intéresser ^^.

debroglie66 · 10/08/2008 - 03h04

Envoyé par Scorp

Contrairement à ce qu'à dit Cassano, on peut définir (même dans R^n) beaucoup plus que 3 normes.
Mais il est vrai que les 3 qu'il a cité sont les plus utilisées, notament la norme 2 puisque c'est une norme euclidienne (c'est-à-dire qui dérive d'un produit scalaire, donc très utile en physique)

merci infiniment à tous!

mais est-ce l'utilisateur qui définit arbitrairement cette infinité de normes sauf les trois premières?

amicalement!

**Médiat** · 10/08/2008 - 05h49

Envoyé par Cassano

Alors ||X||₁= $\Sigma x_i$
$||X||_{inf} = max(x_i)$

C'est plutôt
$||X||_1 = \Sigma |x_i|$
et
$||X||_{\infty} = max(|x_i|)$

troubadour75 · 10/08/2008 - 07h10

en maths , on definit la valeur absolue d'un réel grâce à la notion de distance ( ils obeissent à une même axiomatique ) , qui est une grandeur positive ou nulle! or une norme , est une distance et c 'est pourquoi les deux symbôles de valeur absolue et norme sont tres proches!

debroglie66 · 10/08/2008 - 10h24

rebonjour!

pour un profane qui s'y met depuis 6 mois que veut dire:

Envoyé par Médiat

$||X||_{\infty} = max(|x_i|)$

merci d'avance!

bien amicalement

Scorp · 10/08/2008 - 12h05

C'est une norme dans R^n : c'est-à-dire : prend un vecteur de n composante quelconque x1, x2, ...xn
Et bien on peut définir une norme, nomée la norme infini (d'où le signe infini à coté de la norme, qui rappel de quoi on parle), qui a l'expression donnée : en claire : la norme est le module le plus élevé parmis les composantes de notre vecteur.
Par exemple, si tu prends le vecteur V=(-1, 5 -9, -2, 0, 4), la composante de plus grand module (on dit aussi de plus grande valeur absolue) est -9.
On aura donc une norme infinie pour ce vecteur de ||V||=|-9|=+9

debroglie66 · 10/08/2008 - 12h36

bonjour scorp!

grace à toi j'ai fini de comprendre,merci!

amicalement!

Scorp · 10/08/2008 - 12h49

Si tu veux aller plus loin, ou rien que par curiosité, voici ma réponce à ton message :

Envoyé par debroglie66

merci infiniment à tous!

mais est-ce l'utilisateur qui définit arbitrairement cette infinité de normes sauf les trois premières?

amicalement!

Non, il y a une infinité de normes connues : on peut citer toutes les normes du type "Norme p" dans R^n qui sont définies de la facon suivante :
$\|| x \|| _p = \sqrt[p]{ \sum_{k=1}^n |X_k|^p}$

On voit qu'on a déjà ici une infinité de normes en faisant varier p. En prenant p=1 et p=2, on retrouve les normes qui ont déjà été citées plus haut (norme 1 et norme 2).
Mais on peut imaginer bien d'autres normes encore.

Le but de l'utilisateur est donc de choisir la norme qui sera la plus adaptée à son problème. Il faut bien voir que ca n'a rien d'évident. L'exemple classique est de voir que je peux prendre une suite qui va converger pour une norme, mais diverger pour une autre :
exemple : la suite de polynôme $P_n(X)= \sum_{k=1}^n \frac 1k X^k$
On a alors P1(X)=X
P2(X)=X+0.5X²
etc...

On peut en fait voir le polynôme Pn comme un "vecteur" de composante 1/k et de taille k
P1=(1)
P2=(1, 1/2)
P3=(1,1/2,1/3) etc...
On va donc pouvoir prendre les normes 1 et infini et les appliquer aux polynômes (comme ci c'était des vecteurs)
On veut donc voir si cette suite Pn converge :

Pour la norme 1 : $lim_{n \to \infty} \||P_n(X)\||_1= lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac 1k = + \infty$ => La suite diverge

Pour la norme infinie : $lim_{n \to \infty} \||P_n(X)\||_{\infty}= lim_{n \to \infty} (max_{k=1,..,n}{(\frac 1k )}) = 1$ => La suite converge

Tout ca pour dire que beaucoup de chose se cache derière la notion de norme, et que le choix d'une norme va avoir un effet sur ce qu'on fait
Heureusement, bien souvent, ce problème ne se pose pas. En physique notament, on pourra choisir la norme que l'on veut, donc autant prendre la plus simple. On préfère alors utiliser une norme qui a d'étroite relation avec le produit scalaire (on prendra donc souvent la norme 2, qui peut être vue comme le produit scalaire d'un vecteur par lui même)