Calculer les dérivées des fonctions

Rekoodo · 29/08/2008 - 20h43

Bonjour, j'ai déjà vu un poste la dessus mais je n'ai absolument rien compris et ce n'est pas la même façon d'expliquer que mon professeur.

J'aimerais juste savoir comment l'on fait pour calculer les dérivées des fonctions suivantes.

(-9x+9)'
(2x⁶ + 0,5x⁴)'
(5)'
(x² + x + 1)'
[12x²- 2x¹²)'

Et savoir comment calculer la position d'un mobile en fonction du temps donné par y=x²-10x+15
y = la position et x = le temps.

Il faut si je lis bien par la suite calculer la vitesse du mobile après 2,4,6,.. seconde.

J'ai beaucoup de mal et mon examen est lundi, je vous dis pas la galère.

Merci d'avance !

Apprenti-lycéen · 29/08/2008 - 21h53

Salut à toi

$a$ désigne une constante
$(ax^n)'=nax^ n^-1$
$(a)'=0$
La dérivée d'une somme de plusieurs termes est la somme de la dérivée de chaque terme.

Pour calculer la position du mobile, il n'y à qu'à remplacer $x$ par le temps auquel on te demande de déterminer la position.

Pour ce qui est de la vitesse:
A l'instant $x$ tu as $y=x^2-10x+15$
Si tu donnes un accroissement à ta variable $x$ , à l'instant $x+ \Delta x$ tu auras:
$y+ \Delta y =(x+ \Delta x)^2 -10(x+ \Delta x) + 15$
D'où $/delta y = \Delta x^2 + 2x \Delta x -10 \Delta x$

Par définition, la vitesse instantanée est donnée par
$\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ donc:
$\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x^2 + 2x \Delta x -10 \Delta x}{\Delta x}= x^2+2x-10<br />$
A présent tu remplaces par la valeur donnée.
J'espère n'avoir pas commis d'erreurs...

Rekoodo · 30/08/2008 - 02h20

Merci beaucoup !

Je comprends mieux, ce qui veut dire que ça donnera (je l'espère)

(-9x+9)' = -9
(2x⁶ + 0,5x⁴)' =6.2⁵ + 4.0,5³ = 12⁵ + 2³ =14⁸
(5)' = 0
(x² + x + 1)' = 2x+x = 3x ? (pas sure, je crois que les x ne s'additionne pas)
[12x²- 2x¹²)' = 2.12x-12.2x¹¹ = 24x-24x¹¹ = x¹¹

Pour le mobile j'essaye

y=x²-10x+15

x temps
2
4
6
8
10

y position
y = 2²-10.2+15 = 4-20+15 = -1
y = 4²-10.4+15 = 16-40+15 = -9
y = 6²-10.6+15 = 36-60+15 = -9
y = 8²-10.8+15 = 64-80+15 = -1
y = 10²-10.10+15 = 100-100+15 = 15

Parcontre ensuite je ne comprends pas vraiment... comment dois je trouver le delta et formuler mes étapes ?

Seirios · 30/08/2008 - 07h16

Bonjour,

Envoyé par Rekoodo

(x² + x + 1)' = 2x+x = 3x ? (pas sure, je crois que les x ne s'additionne pas)
[12x²- 2x12)' = 2.12x-12.2x11 = 24x-24x11 = x11

Pour la première, tu as oublié de dériver le x ; pour la seconde, tu as $24x-24x^11 \neq x^11$ , tu ne peux pas simplifier l'écriture (ou à la limite en factorisant par 24x, mais ce n'est pas nécessaire, surtout si l'on ne te demande pas de travailler sur ta dérivée).

Envoyé par Rekoodo

Il faut si je lis bien par la suite calculer la vitesse du mobile après 2,4,6,.. seconde.

S'il s'agit d'un mouvement rectiligne (ce qui semble le cas), la vitesse est donnée en fonction du temps en dérivant l'expression de la position par rapport au temps.

Rekoodo · 30/08/2008 - 08h04

Ah merci, pour ça maintenant j'ai enregistré

alors... ça ferait 2x + 1

Pour le rectiligne vous avez raison d'après ce que j'ai pu voir sur google c'est exactement les graphiques que j'ai dans mon cour.

Mais j'avoue que je n'ai absolument rien compris à votre phrase... (Oui je suis désespérant désolé...)

Pourrais je avoir un petit exemple ? Cela m'aiderait grandement.

Seirios · 30/08/2008 - 08h35

Envoyé par Rekoodo

alors... ça ferait 2x + 1

C'est bien cela.

Envoyé par Rekoodo

Pour le rectiligne vous avez raison d'après ce que j'ai pu voir sur google c'est exactement les graphiques que j'ai dans mon cour.

Mais j'avoue que je n'ai absolument rien compris à votre phrase... (Oui je suis désespérant désolé...)

Pourrais je avoir un petit exemple ? Cela m'aiderait grandement.

Par exemple, si la distance d'un point suivant une trajectoire rectiligne par rapport à l'origine est donnée par $x(t) = 3t^2+2$ , par rapport au temps t, alors la vitesse au temps t est donnée par $x'(t)= 6t$ .

Apprenti-lycéen · 30/08/2008 - 10h44

Bonjour, j'en profite pour dire que mon calcul (encore....!!!

) est quelque peu éronné.
En effet j'ai fait une simplification un peu massive par $\Delta x$ en oublient un carré, je reprends donc:
$\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta x^2 +2x \Delta x-10x}{\Delta x}=2x-10$

Cette fois-ci c'est la bonne!

Rekoodo · 30/08/2008 - 22h06

Heu..... j'ai pas plus compris en fait mais je vais essayer.

donc c'est sur 2 4 et 6 secondes

y=x²-10x+15

Position :
1) y= 2²-10.2+15 => Y si x = 2 | Y = -1
2) y= 4²-10.4+15 => Y si x = 4 | Y = -9
3) y= 6²-10.6+15 => Y si x = 6 | Y = -9

Pour la vitesse je ne sais absolument pas quelle chiffre je dois prendre... Je dois les prendre tous ?
Vitesse : ...

Heu non désolé je n'y arrive pas, je cogite dessus depuis tout à l'heure et j'ai beau chercher je ne vois pas solution ni la façon de le faire.

Seirios · 31/08/2008 - 09h20

Cela dépend de ton cours, et de ce que tu as vu ; pour la vitesse pour x=2, tu peux calculer la vitesse par $v= \frac{y(3)-y(1)}{2}$ , ou bien par $v= \frac{dy}{dx}(2)$ , mais la seconde est plus précise. Comme je l'ai dit, cela dépend de ce que tu as appris.

Rekoodo · 31/08/2008 - 12h45

Je viens d'avoir un déclique (je me surpasse après avoir compris comment faire une étude de signe).

Je vais prendre l'exercice de révision que j'ai fait.

La quantité d'eau qui passe dans une canalisation en fonction du temps est donnée par :
Y = -x²+5x-4

Où
y = la quantité d'eau
x=le temps

Calculer la quantité d'eau et le débit après 1,2 et 5 seconde.

Quantité d'eau =
Si x = 1 => Y = -1²+5.1-4 = 1+5-4 = 2
Si x = 2 => Y = -2²+5.2-4 = 4+10-4=10
Si x = 5 => Y = -5²+5.5-4 = 25+25-4 = 46

Débit = Quantité d'eau/temps soit delta Y / Delta X

Si x = 1 => Delta y / Delta x = 2/1 = 2 (L/sec ?)
Si x = 2 => Delta y / Delta x = 10/2 = 5
Si x = 5 => Delta y / Delta x = 46/5 = 9,2

Je me trompe ?

Seirios · 01/09/2008 - 15h33

Je me trompe ?

Le calcul de la quantité d'eau est exact ; quant à celui du débit, cela dépend de ce que tu cherches à calculer, puisqu'ici tu as calculé le débit moyen. Donc si c'est ce que tu cherchais, c'est bien correct