Suite et convergence

[Matheu47]

Voila après consultations de plusieurs sujets sur ce forum je n'arrive pas à trouver la réponse a ma question.
j'ai un exercice sur les suites a faire et une question me pose problème

ENONCE :
Soit U(n+1)=(Un+2Vn)/3 et V(n+1)=(Un+3Vn)/4
1-Pout tout n appartenant à IN, on pose Wn=Vn-Un
a-Démontrer qu Wn est géométrique
------J'ai trouver que q=1/12 et W1=-11
b-Exprimer Wn en fonction de n, (et le je ne suis pas sur)
------Wn=W0*q^n=(1/12)*n
c- Démontrer que Wn est convergente et déterminer sa limite ( la question me parait simple mais je ne sais pas comment my prendre

2-Démontrer que la suite Un est décroissante et que la suite Vn est croissante

3-Dé"montrer que pour tout n appartenant à l'ensemble N*, on a
Un>Vn. En déduire que, pour tout n appartenant à l'ensemble N*
U1>Un>Vn>V1

4-On pose Tn=3Un+8Vn
a-démontrer que Tn est une suite constante
b-En déduire les expressions de Un et Vn en fonction de n
c- Montrer que Un et Vn convergent vers la même limite.

Voila l'exo, c'est urgent si vous pouvez m'aider s'il vous plait réponder moi.

[sebsheep]

Pour le 1-c, as tu au moins une intuition de la limite?

Sinon, calcule 1/12^2, 1/12^3 ... Tu auras déjà une idée.

Pour déterminer qu'elle est convergente, tu peux montrer qu'elle est minorée et décroissante (apres je te renvoie à ton cours pour conclure).

Pour trouver vers quoi ca converge, c'est une autre histoire : vu que tu as deviner la limiter, tu peux raisonner par l'absurde, càd, supposer que la limite n'est pas celle que tu as trouvé et arriver sur un contresens. (revenir à la définition de la limite)

[sebsheep]

excuse moi j'ai dit une betise ... tu as beraucoup plus simple pour calculer la limite explicitement : (1/12)^n = 1/(12^n) ... je suppose que tu connais la limite de 12^n quand n tend vers l'infini.

[Matheu47]

Donc si je comprend bien, d'abord la limite de (1/12)^n en l'infinie c'est 0, donc la suite converge vers 0? c'est ca? je suis perdu

[Arkangelsk]

Salut,

Donc si je comprend bien, d'abord la limite de (1/12)^n en l'infinie c'est 0, donc la suite converge vers 0? c'est ca? je suis perdu

En fait, toute suite réelle dont le terme général est de la forme est convergente et de limite nulle si et seulement si .

Or,

Tu as dû voir cela en cours : c'est un résultat concernant les suites géométriques.

[Matheu47]

Oki alors d'après cette démonstration, Wn est convergente et sa limite est 0 lorsque n tend vers l'infini

Et pour la question 3?
Démontrer que pour tout n appartenant à l'ensemble N*, on a
Un>Vn. En déduire que, pour tout n appartenant à l'ensemble N*
U1>Un>Vn>V1

[sebsheep]

Regarde le signe de Wn=Vn-Un, ca devrait t'aider

Après pour le U1>Un et Vn>V1, regarder le sens de variation de ta suite (croissante/ decroissante) doit pouvoir t'aider aussi.

[Matheu47]

Regarde le signe de Wn=Vn-Un, ca devrait t'aider

Après pour le U1>Un et Vn>V1, regarder le sens de variation de ta suite (croissante/ decroissante) doit pouvoir t'aider aussi.

J'ai pas bien saisie comment il fallait démontrer cette question, quelle est la méthode?
Pour les questions précédente merci beaucoup votre aide m'a été bénéfique

[sebsheep]

L'idée est de découper le pb en plusieurs problèmes : d'abord montrer Un>Vn et ensuite s'occuper de U1>Un, et V1>Vn

Pour Un> Vn, cela est équivalent à Un-Vn>0 ... là je peux pas t'en dire plus sans te faire completment cette partie de la question la question!

Pour U1>Un, honnetement j'ai pas trop cherché, mais je te donne quelques pistes pour essayer (en partant de la + simple _conceptuellement_):
* prendre n >1 et montrer que dans ce cas Un<U1
* montrer que Un est décroissante:2 possibilités:
- calculer U(n+1)-Un
- par récurence : Supposer U(n+1)<Un, le vérifier pour n=0 et ensuite montrer que U(n+1)<Un implique U(n+2)<Un

Tu devrais avoir ces méthodes dans ton cours si tu veux plus de détails. Si tu ne les as pas, va frapper ton prof et reviens nous demander un peu d'aide