Exercice arithmétique TS

Pololapino · 27/11/2008 - 19h21

Bonjour !

Je bloque sur une équation du second degrés :

Résoudre dans Z l'équation suivante :
3x² + 4x = 0 [21]

J'ai fait quelques recherches, mais le résultat n'est pas bon :
3x² + 4x = 21k
4x = 21k - 3x²
4x = 3 (7k-x²)
4x = 0 [3]

=> x = 0 [3]

Et c'est inexacte, car quand je prends x=6, ça ne marche pas ! Je pense que l'erreur vient du fait que j'ai fait une manip avec le x² que je n'ai pas le droit de faire... mais je ne suis sûr de rien, c'est pourquoi je viens demander l'aide de ceux qui auraient la solution

D'avance merci et bonne soirée,
Pololapino.

God's Breath · 27/11/2008 - 20h00

Bonjour,

Ton problème est que tu n'as pas raisonné par équivalence.

Tu as bien : $3x^2 + 4x \equiv 0 \ \pmod{21} \ \Longrightarrow \ x \equiv 0 \ \pmod{3}$ , mais pas plus.

Si tu prends $x=6$ , tu as bien $x \equiv 0 \ \pmod{3}$ , mais tu ne peux rien en déduire.

Par contre tu peux essayer de raisonner en disant : si $x \equiv 0 \ \pmod{3}$ , alors $x = 3k$ donc $3x^2 + 4x = 27k^2 + 12k$ et $3x^2 + 4x \equiv 0 \ \pmod{21}$ si et seulement si ...

Si tu arrives à déterminer $k$ , tu auras les $x$ solutions de ton problème.

Pololapino · 27/11/2008 - 20h19

Merci de ta réponse !

A partir de ce que tu as dit, on a :
27k² + 12k = 0 [21]
27k² + 12k = 21n
9k² + 4k = 7n
k(9k+4) = 7n

Bon, je ne sais pas si c'est la bonne piste, mais après ça je ne vois pas vraiment quoi faire...