DM de Terminal S sur les nombres complexes

[nGiAkYo]

Alors le deuxième exo sur lequel je bloque... (voici le premier)
Voilà ce que j'ai fait:

a)Alors le point O a pour affixe 0 vu que c'est l'origine donc on remplace z par 0 et on trouve f(O)=O donc O est invariant.

b)B appartient à C car B(-1) et C est un cercle de centre O et de rayon 1 de plus f(B)=B donc si f(M)=B alors M appartient à C.

c)Là j'ai développé [zbar(z-1)]/(zbar-1) et on trouve z'=z donc tout les points de P\{A} sont invariants.

d)D'après la question précédente z'=z donc |z'|=|z|

e)??? je sais pas

f)??? pareil

g) et h) ??? je sèche toujours

Merci pour ceux qui m'aideront et si vous trouvez des fautes dans ce que j'ai fait n'hésitez pas à me corriger.

[Jeanpaul]

Le a est juste, le b est cafouilleux et le reste ne va pas du tout.
Question b) : si M est sur le cercle C, alors que peut-on dire du module de z ?
Ecris la valeur de z' en développant et en remarquant un produit intéressant z.zbarre.
Il n'est pas vrai que z = z' sauf pour certains points.
Pour e, as-tu calculé l'expression ?

[nGiAkYo]

z.zbarre=z²??

[nGiAkYo]

si M est sur C alors |z|=1??

[Jeanpaul]

Disons plutôt que z.zbarre = 1. Que voit-on alors quand on fait le produit z' = etc...

[nGiAkYo]

donc z'=-1???

[hhh86]

Soit M(x,y) un point du plan
M appartient au cercle de centre 1 et de rayon O <==> x²+y²=1
<==> (x+iy)(x-iy)=1
Or z=x+iy et z(bar)=x-iy
Donc z.z(bar)=1
On a donc z'=z(bar)(z-1)/(z(bar)-1)
<==>z'=(z.z(bar)-z(bar))/(z(bar)-1)
<==>z'=(1-z(bar))/(z(bar)-1)
<==>z'=-(z(bar)-1)/(z(bar)-1)
<==>z'=-1
Comme B est le point d'affixe -1, alors on a bien f(M)=B

[hhh86]

Chercher l'ensemble des points invariants par f équivaut à chercher l'ensemble M et M' d'affixe respective z et z' tels que M'=f(M) avec z=z'.
Résolvons l'équation z=z' :
z=z' <==>z'-z=0
<==>[z(bar)(z-1)-z(z(bar)-1)]/(z(bar)-1)=0
<==>[z.z(bar)-z(bar)-z.z(bar)+z]/(z(bar)-1)=0
<==>[z-z(bar)]/(z(bar)-1)=0
<==>z-z(bar)=0 et (z(bar)-1)≠0
<==>x+iy-(x-iy)=0 et x-iy≠1
<==>x+iy-x+iy=0 et x-iy≠1
<==>iy+iy=0 et x-iy≠1
<==>2iy=0 et x-iy≠1
<==>y=0 et x-iy≠1
<==>y=0 et x≠1
L'ensemble des points invariants par f est l'ensemble des points d'ordonnée 0 et d'abscisses différentes de 1.

[nGiAkYo]

J'ai réussi la question e) en développant l'expression et à la fin on obtient bien un nombre réel mais par contre je bloque sur le reste f),g) et h)

[hhh86]

tu as fait la d/ ?

[hhh86]

Pour tous z de C\{1}, on a :
|z’|=|z(bar)(z-1)/(z(bar)-1)|
=|z(bar)||z-1|/|z(bar)-1|
=|z(bar)||x-1+iy|/|x-1-iy|
=|z(bar)|√[(x-1)²-(iy)²]/√[(x-1)²-(-iy)²]
=|z(bar)|√[(x-1)²-(iy)²]/√[(x-1)²-(iy)²]
=|z(bar)|
Or |z(bar)|=|z| donc |z’|=|z|

[hhh86]

Soient z appartenant à C\{1}, x appartenant à |R et y appartenant à |R tels que z=x+iy
Pour tous z de C\{1}, on a :
(z’+1)/(z-1)=(z(bar)(z-1)/(z(bar)-1)+1)/(z-1)
=[(zz(bar)-z(bar)+z(bar)-1)/(z(bar)-1)]/(z-1)
=[(zz(bar)-1)/(z(bar)-1)]/(z-1)
=(zz(bar)-1)/[(z(bar)-1)(z-1)]
=(zz(bar)-1)/[(x-iy-1)(x+iy-1)]
=(zz(bar)-1)/[(x-1-iy)(x-1+iy)]
=(zz(bar)-1)/[(x-1)²+y²]
=((x+iy)(x-iy)-1)/[(x-1)²+y²]
=(x²+y²-1)/[(x-1)²+y²]
Or comme x et y sont 2 réels de |R, alors (z’+1)/(z-1)=(x²+y²-1)/[(x-1)²+y²] appartient à |R

[nGiAkYo]

ouai c'est ce que j'ai fait mais je bloque pour la f) g) h)...

[Jeanpaul]

Toutes ces questions sont largement indépendantes.
f) Le vecteur AM a pour affixe z - 1 (Chasles) et le vecteur BM' a pour affixe z' - 1
Le rapport (z' - 1)/(z-1) est donc le complexe qui fait passer de AM à BM' (= multiplication par le module de ce complexe puis rotation de l'argument de ce complexe). Ce nombre est réel comme vu en (e), son argument vaut 0 ou pi et dans tous les cas les vecteurs AM et BM' sont parallèles, leur angle vaut 0 ou pi.
Les droites AM et BM' sont parallèles.
g) Le vecteur AM est représenté par z-1 (on le saura !) et MM' par z'-z.
On calcule le quotient (z' - z)/(z-1) , on trouve au dénominateur un module, donc réel et au numérateur une différence z - z barre qui est un imaginaire pur donc le quotient (z" - z)/(z-1) est imaginaire pur, l'angle vaut donc +- pi/2.
h) BM' est parallèle à AM et MM' est perpendiculaire à AM. On voit bien comment construire le point M' puisque A, B et M sont connus. Fais un dessin.