Symétrie et cosinus

**maths33** · 26/02/2009, 09h55

Bonjour,

Alors mon prof de math nous a donné un DM, vous savez le DM que quand on le regarde on tombe par terre

J'espère que vous pourrez éclairer mes pensées...

Le réel étant donné, on désigne par A et B les points du cercle trigonométrique C respectivement associés à $\text{[math]}$ et 2 $\text{[math]}$ .

1)Montrer que I et B sont symétriques par rapport à (OA).
(Rappel:I est le point d'abscisse curviligne 0.)

Je dirais ( $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ )=( $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ )-( $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ )= $\text{[math]}$
I et B sont symétriques par rapport à (OA) ssi ( $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ )=( $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ ) et OA=OB
Or ( $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ )= $\text{[math]}$ et ( $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ )=2 $\text{[math]}$ donc ( $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ )= $\text{[math]}$ et C est un cercle trigo donc OA=OB. C'est bon ???

2)En déduire que $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ est colinéaire à $\text{[math]}$ puisqu'il existe un réel tel que:

cos2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ xcos $\text{[math]}$ -1 et sin2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ xsin $\text{[math]}$

Alors en fait on m'a aidé sur un autre forum mais c'est pas très clair :

$\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ a pour direction 1/2(0+ $\text{[math]}$ )= $\text{[math]}$
soit la direction de $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ est donc colinéaire à $\text{[math]}$ .

puis en coordonnées rectangulaires:
OI(1;0)
OA(cos $\text{[math]}$ ;sin $\text{[math]}$ )
OB(cos2 $\text{[math]}$ ;sin2 $\text{[math]}$ )
donc $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ (1+cos2 $\text{[math]}$ ;sin2 $\text{[math]}$ )

Merci d'avance pour votre aide...

**Jeanpaul** · 26/02/2009, 11h16

Pour la question 1, il suffit de dire que OA est la bissectice de l'angle IOB.
Pour la question 2, il est plus simple d'utiliser les nombres complexes si tu connais.
OC a pour affixe 1 + cos(2a) + i sin(2a) = 2 cos(a) [cos(a) + i sin(a)] et c'est fini.

**tuan** · 26/02/2009, 11h38

Bonjour,
Si les vecteurs (a₁;b₁) et (a₂;b₂) sont colinéaires, on a
a₁ = k. a₂ et
b₁ = k. b₂

On a OA = (cos(alplha);sin(alpha)
et OI+OB = (1+cos(2.alpha); sin(2alpha))

1+cos(2.alpha) = 2cos(alpha).cos(alpha)
sin(2.alpha) = 2cos(alpha).sin(alpha)
OA et OI+OB sont colinéaires au facteur k=2cos(alpha)

**maths33** · 26/02/2009, 12h03

je connais pas les nombres complexes...
et on en fait quoi de cos2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ xcos $\text{[math]}$ -1 et sin2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ xsin $\text{[math]}$ ??

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Jeanpaul** · 26/02/2009, 12h49

T'en fais rien, tu fais comme dit Tuan, qui est ce que je disais mais transcrit en coordonnées.

**maths33** · 26/02/2009, 13h09

Ok merci beaucoup !
J'ai encore besoin d'aide

1) A l'aide d'un raporteur, placer sur les cercle C les points I(0),A(2 $\text{[math]}$ /5) , B(4 $\text{[math]}$ /5) , C (6 $\text{[math]}$ /5) et D(8 $\text{[math]}$ /5) et vérifier que les angles ( $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ) ; ( $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ ); ( $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ ); ( $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ ) et ( $\text{[math]}$ ; $\text{[math]}$ ) ont tous pour mesure 2 $\text{[math]}$ /5. (IABCD est un pentagone convexe régulier)
Bon ça c'est facile...

2)Montrer que chaque diamètre de C passant par l'un des sommets du pentagone, est un axe de symétrie du pentagone.

3)Soit $\text{[math]}$ le vecteur tel que:

$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ où O est le centre de C.
Montrer que $\text{[math]}$ est à la fois colinéaire à $\text{[math]}$ et à $\text{[math]}$ .
En déduire $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$

Piste: $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +( $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ )+( $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ )
Il y a une histoire de barycentre d'après ce que j'ai compris.

Après je pense que je vous embête plus...

**Jeanpaul** · 26/02/2009, 13h14

Pas de barycentre mais l'application de l'exo précédent. OI est l'axe de symétrie de la paire OA _ OD donc la somme de ces vecteurs est sur OI. Idem de la paire OB_OC, donc la somme est sur OI.
On peut refaire le même raisonnement en changeant l'ordre du calcul et en disant que OA est axe de symétrie de OI_OB et continuer.

**maths33** · 26/02/2009, 13h59

je comprend pas en plus je vois pas pourquoi OI est un axe de symétrie de OA_OB et de OB_OC...

**maths33** · 26/02/2009, 14h39

J'ai trouvé ça sur un autre forum :

Les triangles OAB, OBC, OCD, ODI, OIA sont isométriques comme ayant les
3 cotés égaux 2 à 2.

(OA;OB) = (OB;OC) = (OC;OD) = (OD;OI) = (OI;OA) = 2 $\text{[math]}$ /5

(OA;OB) = 2 $\text{[math]}$ /5
(OI;OA) = 2 $\text{[math]}$ /5 -> (OA;OI) = -2 $\text{[math]}$ /5

et comme on a aussi |OB|=|OI|= 1 comme rayon du cercle trigonométrique.

B et I sont donc symétriques par rapport à OA.
---
(OA;OD) = (OA;OI) + (OI;OD) = -(OI;OA) - (OD;OI) = -2 $\text{[math]}$ /5 - 2 $\text{[math]}$ /5 = -4 $\text{[math]}$ /5
(OA;OC) = (OA;OB) + (OB;OC) = 2 $\text{[math]}$ /5 + 2 $\text{[math]}$ /5 = 4 $\text{[math]}$ /5
et comme on a aussi |OD|=|OC|= 1 comme rayon du cercle trigonométrique.

C et D sont donc symétriques par rapport à OA.
---
OA est donc axe de symétrie de ABCDI. Ca répond à ma question non ??

**Jeanpaul** · 26/02/2009, 16h01

Envoyé par maths33

je comprend pas en plus je vois pas pourquoi OI est un axe de symétrie de OA_OB et de OB_OC...

C'est pas ça que j'ai écrit !

**maths33** · 26/02/2009, 17h14

OA_OD pardon mais je comprend pas quand même.
Sinon ce que j'ai mis est juste ou pas ???

**Jeanpaul** · 26/02/2009, 17h28

C'est juste bien sûr, pas forcément le plus simple mais ça ne fait rien. Le tout est de comprendre qu'un rayon de la roue est axe de symétrie pour les rayons adjacents d'une part et les 2 autres d'autre part. Et on peut le voir de plein de façons.

**maths33** · 26/02/2009, 17h46

C'est la même chose quand tu m'avais dit OA est la bissectice de l'angle IOB ?
Et sinon la 3eme question ??? Je vois pas trop la piste à quoi ça sert déjà...

**Jeanpaul** · 26/02/2009, 19h05

Tu as une somme du type OI + OA + OB + OC + OD
qui peut se grouper comme on veut :
OI + (OA + OD) + (OB + OC) qui, par regroupement de symétriques autour de OI donne une somme sur OI.
Mais on peut aussi bien écrire :
OA + (OB + OI) + (OC + OD) qui, par le même type de regroupement donne une somme sur OA.
Les vecteurs OI et OA n'étant pas parallèles, le seul vecteur qui est aligné sur OI et OA est le vecteur 0.

**maths33** · 27/02/2009, 09h46

et donc pour $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +( $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ )+( $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ) il y a rien a développer ça prouve directement la colinéarité ?

**maths33** · 27/02/2009, 09h56

et comment sait on que OA est la bissectrice de IOB ???

**Jeanpaul** · 27/02/2009, 12h52

Envoyé par maths33

et comment sait on que OA est la bissectrice de IOB ???

Parce que les angles sont les mêmes de chaque côté.

**maths33** · 27/02/2009, 13h59

j'ai posé une autre question à 10h46

**maths33** · 27/02/2009, 16h20

pour $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +( $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ )+( $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ) il y a rien a développer ça prouve directement la colinéarité ?
Et dit moi comment on peut déduire de la question 3 que cos(4 $\text{[math]}$ /5)+cos(2 $\text{[math]}$ /5)+1/2=0 ?? Je vois par le calcul mais pas avec la déduction de 3) !

**maths33** · 28/02/2009, 17h32

Il y a quelqu'un ???

**maths33** · 01/03/2009, 19h36

bon c'est pas grave j'ai bouclé mon DM je tiens juste à vous remercier pour votre aide...

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