valeurs de cos 3pi/8 et sin 3pi/8

[Apprenti-lycéen]

Je pense pas, à mon avis faut plutôt faire

[didiana]

a oui ca pourrait marcher je vai essayer merci

[Apprenti-lycéen]

Je trouve

[didiana]

j'ai trouver mais en faite c'etait tou simple lol la valeur exacte de cos 3pi/4 =-racine carré de sur 2 et pour sin c 2 racine de 2 donc B (-2racine carré 2/2;2racine carré de 2 / 2)

[didiana]

ta repondu plus vite lol merci beaucoup

[Apprenti-lycéen]

Bon sinon pour la suite ca va tu te débrouilles?

[hhh86]

Bonjour à tous, j'ai un problème concernant cet exercice, si quelqu'un pouvait m'aider ce serait vraiment sympa!

Valeurs exactes de cos3/8 et sin3/8
On considère les points A de coordonnées polaires (2;0) et B l'image de A dans la rotation de centre O et d'angle 3/4. I est le milieu de [AB].

1. Calculez les coordonnées cartésiennes de A et B puis déduisez-en celles de I.
2.a) Précisez la nature du triangle OAB et déduisez-en la mesure principale de (,OI).
b) Quelles sont les coordonnées polaires de I ?
3. Déduisez-en les valeurs exactes de cos 3pi/8 et sin3pi/8

B est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle 3pi/4 donc (OA;OB)=3pi/4 et OB=OA=2
Or (i,OB)=(i,OA)+(OA,OB)=0+3pi/4=3pi/4
Donc (2;3pi/4) est un couple de coordonnées polaires de B

Calculons les coordonnées cartésiennes de A :
Soit (x;y) les coordonnées cartésiennes de A, on a alors
x=rcos(théta) où [r;théta] est un couple de coordonnées polaires de A
donc x=2*cos(0)=2*1=2
y=rsin(théta)=2*sin(0)=2*0=0
D'où A(2;0)

Calculons les coordonnées cartésiennes de B :
Soit (x;y) les coordonnées cartésiennes de B, on a alors
x=rcos(théta) où [r;théta] est un couple de coordonnées polaires de B
donc x=2*cos(3pi/4)=2*cos(pi-pi/4)=-2cos(pi/4)=-2racine(2)/2=-racine(2)
y=rsin(théta)=2*sin(3pi/4)=2*sin(pi-pi/4)=2*sin(pi/4)=2racine(2)/2=racine(2)
D'où B(-racine(2);racine(2))

I est le milieu de [AB] donc on a :
xI=(xA+xB)/2=[2-racine(2)]/2
yI=(yA+yB)/2=[0+racine(2)]/2=racine(2)/2

D'où I([2-racine(2)]/2;racine(2)/2)

Dans les triangle OAB,OA=OB donc OAB est isocèle en O
Dans le triangle OAB isocèle en O, I est le milieu de [AB] donc (OI) est la médiane issue de O. Par conséquant [OI) est la bissectrice de l'angle AOB
Il en résulte que (OA;OI)=(OA;OB)/2
<==>(OA;OI)=[(OA;i)+(i;OB)]/2
<==>(OA;OI)=[-(i;OA)+(i;OB)]/2
<==>(OA;OI)=[0+3pi/4]/2
<==>(OA;OI)=3pi/8
<==>(i;OA)+(OA;OI)=(i;OA)+3p i/8
<==>(i;OI)=3pi/8 comme (i;OA)=0

Calculons OI :
OI²=(xI-xO)²+(yI-yO)²
<==>OI²=xI²+yI²
<==>OI²=[2-racine(2)]²/4+[racine(2)]²/4
<==>OI²=[4+2-4racine(2)]/4+2/4
<==>OI²=[6-4racine(2)]/4+1/2
<==>OI²=3/2+1/2-racine(2)
<==>OI²=2-racine(2)
D'où OI=racine(2-racine(2))

Donc [racine(2-racine(2));3pi/8] est un couple de coordonnées cartésiennes de I

Soient (x;y) les coordonnées cartésiennes de I et [r;théta] les coordonnées polaires de I.
On a donc le système suivant :
r=racine(x²+y²)
x=rcos(théta)
y=rsin(théta)
Donc cos(théta)=x/r
<==>cos(3pi/8)=([2-racine(2)]/2)/racine(2-racine(2))
=([2-racine(2)]/2)racine(2+racine(2))/racine(2-racine(2))racine(2+racine(2))
=([2-racine(2)]/2)racine(2+racine(2))/racine(4-2)
=([2-racine(2)]/2)racine(2+racine(2))/racine(2)
=([2-racine(2)]/2)racine(2+racine(2))racine(2)/racine(2)racine(2)
=([2-racine(2)]/2)racine(2+racine(2))racine(2)/2
=([2-racine(2)])racine(2+racine(2))racine(2)/4
=[2racine(2+racine(2))racine(2)-racine(2)racine(2+racine(2))ra cine(2)]/4
=[2racine(2+racine(2))racine(2)-2racine(2+racine(2))]/4
=racine(2+racine(2))[racine(2)-1]/2

sin(théta)=y/r
<==>sin(3pi/8)=([racine(2)]/2)/racine(2-racine(2))
=([racine(2)]/2racine(2-racine(2))
=([racine(2)]racine(2+racine(2))/2racine(2-racine(2))racine(2+racine(2))
=([racine(2)]racine(2+racine(2))/2racine(4-2)
=([racine(2)]racine(2+racine(2))/2racine(2)
=racine(2+racine(2))/2

[ganarin]

hhh86, je trouve ton corrigé très bien mais je pense que pour trouver la valeur du cosinus on peut faire d'une manière plus simple:
on a trouvé précédemment que la partie réelle de l'affixe de I est (2-rac2)/2 or c'est égal à (rac(2-rac2))²/2
donc cos3/8=(rac(2-rac2))²/2/rac(2-rac2)
=(rac(2-rac2))²/2(rac(2-rac2)
=rac(2-rac2)/2

[hhh86]

Cela fait un an de cela donc je pense que ce n'est plus la peine. De plus quand j'ai proposé ce corrigé, j'étais en première S et par conséquent n'avait pas vu les complexes