équation avec des nombres complexes

[Kanabeach1704]

Bonjour, j'ai un exercice à faire mais je suis carrément dans le brouillard, pouvez-vous m'aidez.

Enoncé

On considère l'équation (E) z^3 -(4+i)z² + (7+i)z - 4=0 où z désigne un nombre complexe.

1)a) Montrer que (E) admet une solution réelle, notée z1. (il faut déterminer z1)

b) Déterminer les deux nombres complexes a et b tels que, pour tout nombre complexes z on ait : z^3 -(4+i)z² + (7+i)z - 4 = (z-z1)(z-2-2i)(az+b)

2) Résoudre (E)

Merci d'avance pour votre aide.

[lapin savant]

Salut,
1) a) Remplace z par z1 dans l'équation en tenant compte du fait que z1 est réel (partie imaginaire nulle...).

b) Développe le membre de droite et identifie les coefficients de l'équation à ceux du membre de gauche.

2) Facile !! (avec b)).

[Kanabeach1704]

Désolé mais je ne comprends pas du tout. Je ne vois pas comment remplacer z par z1 dans l'équation m'avance puisque je ne connais pas z1. L'équation sera toujours la même sauf qu'à côté du z il y aura 1.

???

[danyvio]

En développant, tu vas obtenir une équation avec une partie réelle, et une partie imaginaire du style :E= (du réel) + i multiplié par (quelque chose réel ). Pour que E soit réel, il faut que ce "quelque chose de réel") soit nul !
Exemple : pour que F=57+ i (w +4) soit réel, il faut que w+4 = 0 donc que w = -4.

[Kanabeach1704]

J'ai suivi vos conseil mais ça ne va pas, je trouve z1=0
Or 4 est différent de 0 => le membre de gauche n'est pas égale à celui de droite.

???

[Kanabeach1704]

AH ! si j'ai réussi j'avais fait une erreur de signe pff.
Je trouve z1=1, est-ce quelqu'un peut me le confirmer ?

[Kanabeach1704]

Par la même occasion pouvez-vous m'aider pour faire la question 2 parce-que je galère vraiment, j'ai fait plein de calcul qui ne conduise à rien.
Merci d'avance.

[lapin savant]

AH ! si j'ai réussi j'avais fait une erreur de signe pff.
Je trouve z1=1, est-ce quelqu'un peut me le confirmer ?

C'est juste.

[lapin savant]

Par la même occasion pouvez-vous m'aider pour faire la question 2 parce-que je galère vraiment, j'ai fait plein de calcul qui ne conduise à rien.
Merci d'avance.

Développe le membre de droite et range les termes par puissances de z.
Ecris-nous ton calcul.

[Kanabeach1704]

(z-z1)(z-2-2i)(az+b)
= (z²-2z-2iz-z+2+2i)(az+b)
= az^3-2az²-2aiz²-az²+2az+2aiz+bz²+2bz-2ibz-bz+2b+2ib

Voilà ce que ça me donne.Ca fait un calcul immense et je ne vois pas du tout en quoi il ressemble à celui du membre de gauche.
Si j'en déduis simplement que a=1, sans grande conviction.

[danyvio]

Deux nombre complexes égaux leurs parties réelles sont égales, et leurs parties imaginaires aussi.
Ex si on dit que R1 + iR2 = R3 +i R4, (les Rn étant des réels), alors R1=R3 et R2 = R4

[lapin savant]

Deux nombre complexes égaux leurs parties réelles sont égales, et leurs parties imaginaires aussi.
Ex si on dit que R1 + iR2 = R3 +i R4, (les Rn étant des réels), alors R1=R3 et R2 = R4

Ou alors 2 polynômes à coefficients dans C, sont égaux ssi leurs coefficients sont tous égaux monôme à monôme.
C'est équivalent.
Dans ton cas, simplifie en :


Par rapport à ce que t'as dit danyvio, tu obtiens 4 équations au lieu de 2. Mais c'est pareil.

edit : tu devrais trouver a=1 et b=i-1, à confirmer.

[lapin savant]

Il y avait une petite erreur ici :

(z-z1)(z-2-2i)(az+b)
= (z²-2z-2iz-z+2+2i)(az+b)
= az^3-2az²-2aiz²-az²+2az+2aiz+bz²-2bz-2ibz-bz+2b+2ib

Ce qui donne (j'écris juste ce qui change) :


mais comme le calcul de b peut se faire sans cette équation, le résultat donné au-dessus est bon.

[Kanabeach1704]

ok ok. Merci pour votre aide, je vais essayer de finir avec ce que vous m'avez dit.

[Kanabeach1704]

Je trouve la même chose que lapin savant, c'est-à-dire a=1 et b=i-1.
Pour trouver cela j'ai résolu :
az^3=z^3
a=1

puis :

2b(1+i)=-4
b=-2/(1+i)
b=(-2+2i)/2
b=-1+i

Je pense qu'il faut faire comme ça, mais je n'en suis pas sûre.

Pour résoudre (E), il me reste simplement à remplacer a et b par leur valeur dans l'équation et je trouverai la solution, non ?