DM de maths applications du produit scalaire

burnttoast · 14/03/2009 - 18h56

Bonjour, j'ai un DM de maths à faire et je n'y arrive pas, je vais vous donner l'énoncé, j'espère que vous répondrez pour m'aider car toute la classe en a besoin ...

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 6 et AC = 8
On cherche l’ensemble C des points M tels que :
MC ≥ 3MA
MB ≤ 2MA (c’est un système)

1. Recherche de l’ensemble E des points M tels que MC ≥ 3MA

a) Démontrer que MC ≥ 3MA ssi 9MA²-MC² ≤ 0
Bon alors ça c’est facile, j’y suis arrivé

b) Placer sur la droite (AC) le barycentre G des points pondérés (A,9) et (C, -1)
Pareil j’ai réussi j’ai trouvé que AG(vecteur) = -1/8AC(vecteur) donc 1 cm sur ma figure avec un sens opposé à AC (vecteur)

c) Exprimer 9MA²-MC² en fonction de GM
Alors ici, je trouve un truc qui me fais sérieusement douter … déjà pour la méthode… est ce que je dois le transformer en vecteurs avant d’introduire G avec la relation de Chasles ou est ce que je remarque l’identité remarquable et je développe ? Que dois je trouver ?
Quelle forme est ce que je dois trouver ? GM = quelque chose ou une formule dont on connait tout sauf GM ?

d) Quel est l’ensemble E cherché ?
bon ben la bien sur n'ayant par réussi le c) j'ai pas pu faire celui là

2. Recherche de l’ensemble F des points M tels que MB ≤ 2MA

a) Montrer que MB ≤ 2MA ssi (2MA-MB) . (2MA+MB) ≥ 0
là aussi j’y arrive j’ai mis au carré puis mis en vecteurs puis développé l’identité remarquable et voila c’est fait ...

b) placer sur la droite (AB)
Le barycentre I de (A, 2) et (B, -1)
Le barycentre J de (A, 2) et (B, 1)
Ici je trouve AI (vecteur) = 2AB (vecteur) et AJ (vctr) = 2/3AB (vctr)

c) Démontrer que (2MA-MB) . (2MA+MB) ≥ 0 ssi MI . MJ ≥ 0
Ici, j'ai réussi un bout, j'ai utilisé la proprieté fondamentale des barycentres mais je trouve MI.3MJ et pas ce qu'on doit trouver ...

d) Quel est l’ensemble F recherché ? Le représenter
Du coup je n’ai pas pu le faire

3. Représenter l’ensemble C
pareil, je n'ai aucun des deux ensembles je ne peux donc pas deviner la réponse à cette question !

Merci beaucoup si vous me répondez, vous me sauveriez la vie !!!!

matthieu174 · 14/03/2009 - 19h58

Bonjour,
en effet tu devrais mettre les vecteurs puis faire chasles en faisant apparaitre $\vec{GM}$ , tu développes et tu trouves un truc (c'est un peu long et fastidieux)

si tu n'y arrives pas je posterai un début de soluce

a+

burnttoast · 14/03/2009 - 21h40

merci,
c'est ce que j'avais essayé...
je trouve 8MG²+GA²-GC²+18MG.GA-2MG.GC avec des vecteurs bien sur mais je ne vois pas comment le simplifier plus ...

matthieu174 · 15/03/2009 - 10h05

Re.
c'est presque fini, tu peux encore factoriser par $2\vec{MG}$ puis tu pourras simplifier

burnttoast · 15/03/2009 - 10h48

est ce que je le laisse comme ça ????
8MG²+GA²-GC² ? je ne devrais pas trouver MG=quelque chose ou < ou > à quelque chose ?
ou est ce qu'on considère que connaissant GA et GC on a exprimé ce qu'il fallait en fonction de MG ?

burnttoast · 15/03/2009 - 10h59

je voulais savoir comment en partant de ce résultat je peux être capable de trouver l'ensemble des points M. est ce que je dois reprendre le <(ou égal ) du 9MA²-MC²<(ou égal) 0
pour trouver 8MG²+GA²-GC²<0 et du coup là au d) je trouve MG<racine carré 10 et donc GM <-racine 10
mais je trouve ça bizarre...

matthieu174 · 15/03/2009 - 11h27

Re.
tu peux écrite GA²=1 et GC²=81, cela donne
$9MA^2-MC^2=9\vec{MA}^2-\vec{MC}^2 \\ 9MA^2-MC^2=9(\vec{MG}+\vec{GA})^2-(\vec{MG}+\vec{GC})^2 \\ 9MA^2-MC^2=9\vec{MG}^2+9\vec{GA}^2+1 8\vec{MG}.\vec{GA}-\vec{MG}^2-\vec{GC}^2-2\vec{MG}.\vec{GC} \\9MA^2-MC^2=8\vec{MG}^2+2\vec{MG}.(9 \vec{GA}-\vec{GC})+9-81 \\ 9MA^2-MC^2=8\vec{MG}^2-72$
ce qui fait que:
$E=\{M \in P ; MC\geq3MA\} \\ E= \{M \in P ; 9MA^2-MC2 \leq 0 \} \\ E= ...$
ouf, j'ai réussi à tout écrire...

burnttoast · 15/03/2009 - 11h36

merci beaucoup!!!!!
j'avais pas compris que je devais reprendre l'énoncé

burnttoast · 15/03/2009 - 11h38

comment je fais pour mon MI.3MJ ???? dans le deux ?

matthieu174 · 15/03/2009 - 12h01

c'est la même chose:
$(1) : (2MA-MB) . (2MA+MB) \geq 0$
$(1) \Longleftrightarrow 2\vec{MA}^2-^\vec{MB}^2\geq 0$
$(1) \Longleftrightarrow 2(\vec{MI}+\vec{IA})^2-(\vec{MI}+\vec{IB})^2\geq 0$
$(1) \Longleftrightarrow 2\vec{MI}^2+2\vec{IA}^2+4\vec{ MI}.\vec{IA}-\vec{MI}^2-\vec{IB}^2-2\vec{MI}.\vec{IB} \geq 0$
$(1) \Longleftrightarrow ...$

Ici je trouve AI (vecteur) = 2AB (vecteur) et AJ (vctr) = 2/3AB (vctr)

non...
a+

burnttoast · 15/03/2009 - 12h22

merci beaucoup
en fait depuis on avait trouvé mais on bloque sur le d) du 2 on ne voit pas comment trouver un ensemble

burnttoast · 15/03/2009 - 13h08

Envoyé par ce qui fait que:
[tex

E=\{M \in P ; MC\geq3MA\} \\ E= \{M \in P ; 9MA^2-MC2 \leq 0 \} \\ E= ... [/tex]
...

Que veut dire P ????

matthieu174 · 15/03/2009 - 13h59

Re.
P c'est le plan, cela veut dire en français : "E est l'ensemble des points M du plan tels que MC>3MA"
oui, je suis un peu à la masse, 2MA-MC=MI et 2MA+MC=3MJ, ça marche tout seul
on a donc F ensemble des points M du plan tels que $\vec{MI}.\vec{MJ}>0$
soit H projeté orthogonal de M sur (IJ)
cela veut dire que les vecteurs HI et HJ sont colinéaire et de même sens
donc si on trace les perpendiculaires à (IJ) en I et en J, l'ensemble F est l'extérieur des deux droites, je ne sais pas si c'est très compréhensible, faite une figure...
a+

burnttoast · 15/03/2009 - 19h57

Merci beaucoup !!!!

on a réussi à finir le DM
c'était normal qu'on y arrive pas comme ça ?

burnttoast · 07/04/2009 - 21h49

Bon alors en fait maintenant j'ai la correction et pour l'ensemble de définition F, MI.MJ>0 (avec des vecteurs)
la solution n'est pas l'extérieur des droites mais le cercle de diamètre [IJ] ( vu dans le cours que je n'ai pas su relire) pour ceux qui ont le même DM

Sinon merci beaucoup de m'avoir aidée j'ai eu 18/20 malgré l'erreur de fin.