Fractions
Bonjour,
Je cherche à démontrer que, compris entre [0;1]
J' ai appliqué les règles usuelles sur les inégalités:
on a
avec
et
on a
Idem pour les 2 autres fractions, donc en sommant terme à terme, on a
J' ai essayé en développant, monstrueux!!!
je teste d' autres idées mais j' aimerais bien que quelqu'un puisse me donner un petit coup de main, merci d'avance
Le Vrai, le Bien, le Beau.....
Coucou,
Une petite idée, une astuce.....
Merci
Le Vrai, le Bien, le Beau.....
Tu es en quelle classe ? Il doit y avoir une astuce pour être honnête j'ai cherché sans trouver encore mais du coup ça m'énèrve alors je persévère.. si tu trouves avant donne la solution
Re : fractions
Re,
[L1]Je cherche encore.....C' est issu d' un concours de maths de l' académie de poitiers, niveau Lycée!!!
Le Vrai, le Bien, le Beau.....
On peut toujours dire que 0<=a<=b<=c<=1
Alors a/(1+bc) <= a/2
b/(1+ac) <= b/(1+ab)
c/(1+ab)=c/(1+ab)
En additionnant, ça fait a/2 + (b+c)/(1+ab) <=a/2 + (b+c)/2<=3/2
Et effectivement ça fait 3/2 si a=b=c=1
Alors a/(1+bc) <= a/2Envoyé par Jeanpaul
OUPS!!!!
1+bc<2 (au dénominateur) donc inégalité inversée pour les quotients...
mouais, pas convaincu.
On ne change pas l' énoncé, ce serait trop simple!!!
merci quand même!
quelqu'un a t il une astuce ou une idée???
Fitzounet, as tu avancé? Moi, je sèche un peu!!!
Le Vrai, le Bien, le Beau.....
Par contre, je m'interroge si a/(1+bc)<= 1/2 n'est pas correct...
Serait-ce démontrable?
Dernière modification par Pachy ; 17/10/2009 à 07h35.
Non, tu as raison, je me suis planté dans l'écriture, c'est a/(1+bc)<=1
Quant à l'hypothèse a<=b<=c, on a toujours le droit de la faire car la formule ne change pas quand on replace a par b, b par c. Les variables a,b,c jouent exactement le même rôle donc on peut les appeler comme on veut, notamment appeler a la plus petite et c la plus grande.
Oui Jeanpaul à raison mais maintenant vous êtes libres de faire la démonstration dans tous les autres cas si vous voulez.
La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation
Ok, j'essaye et je vois si on peut obtenir quelque chose de cohérent!! Merci
Le Vrai, le Bien, le Beau.....
J'ai une solution peu élégante mais elle a le mérite d'exister
Tout d'abord le signe < représente inférieur ou égal et > supérieur ou égal
Supposons 0<a<b<c<1
Alors 1+bc>1+a², 1+ac>1+a² et 1+ab>1+a²
D'où 1/(1+bc)<1/(1+a²), 1/(1+ac)<1/(1+a²) et 1/(1+ab)<1/(1+a²)
Ainsi a/(1+bc)+b/(1+ac)+c/(1+ab)<(a+b+c)/(1+a²)
Or b<1 et c<1 donc b+c<2
d'où a/(1+bc)+b/(1+ac)+c/(1+ab)<(a+2)/(1+a²)
Cherchons les valeurs de a pour lesquelles (a+2)/(1+a²)<2
On a alors (a+2-2-2a²)/(1+a²)<0
<=>(a-2a²)/(1+a²)<0
<=>a(1-2a)/(1+a²)<0
<=>(1-2a)<0 car a>0 et 1+a²>0
<=>a>1/2
Il en résulte que si a>1/2 alors a/(1+bc)+b/(1+ac)+c/(1+ab)<2
Montrons alors que a<1/2 ==> a/(1+bc)+b/(1+ac)+c/(1+ab)<2
Supposons a<1/2
On a alors (a+b+c)/(1+a²)<1/2+b+c<3/2+b car c<1
Cherchons les valeurs de b pour lesquelles 3/2+b<2
<=>b<1/2
Supposons b>1/2
On a alors (a+b+c)/(1+a²)<1/2+b+c<3/2+c car b<1
Cherchons les valeurs de c pour lesquelles 3/2+c<2
<=>c<1/2
Supposons a<1/2, b>1/2 et c>1/2
Or b>1/2 et c>1/2 donc 1+bc>1+1/4, 1+ac>1+a/2 et 1+ab>1+a/2
D'où a/(1+bc)+b/(1+ac)+c/(1+ab)<a/(1+1/4)+b/(1+a/2)+c/(1+a/2)<a/(1+1/4)+1/(1+a/2)+1/(1+a/2)
Or a/(1+1/4)+1/(1+a/2)+1/(1+a/2)=4a/5+4/(2+a)
Raisonnons par l'absurde et supposons que 4a/5+4/(2+a)>2
4a/5+4/(2+a)>2
<=> 4a/5+4/(2+a)>2
<=> 4a(2+a)+20-10(2+a)>0
<=> 8a+4a²+20-20-10a>0
<=> -2a+4a²>0
<=> 2a(2a-1)>0
<=> a>1/2, ce qui est absurde d'après les hypothèses
Donc 4a/5+4/(2+a)<2 ==> a/(1+bc)+b/(1+ac)+c/(1+ab)<2
Il en résulte que si a<1/2 alors a/(1+bc)+b/(1+ac)+c/(1+ab)<2
Par conséquant pour tout a appartenant à [0;1/2]U[1/2;1]=[0;1], a/(1+bc)+b/(1+ac)+c/(1+ab)<2 avec b et c appartenant à [0;1]
La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation
Si tu as des questions, n'hésites pas
La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation
Bonjour hhh86,
Excellent,pour l' instant c' est la meilleure démo que j' ai vu. Beau travail!!!
Après l' avoir relue en détail, tout me parait cohérent...
Il reste cependant la supposition de départ ( 0<a<b<c<1) qui ne figure pas dans l' énoncé initial!
Je garde ta belle démonstration sous le coude mais je vais continuer à en chercher une autre sans ajout de conditions......
merci beaucoup et à très bientôt
Le Vrai, le Bien, le Beau.....
Pour la condition 0<a<b<c<1, tu peux le justifier de cette manière
a,b et c appartiennent à [0,1] <=> 0<=a<=b<=c<=1 ou 0<=a<=c<=b<=1 ou 0<=b<=a<=c<=1 ou 0<=b<=c<=a<=1 ou 0<=c<=a<=b<=1 ou 0<=c<=b<=a<=1
On suppose 0<=a0<=a1<=a2<=1
Montrons que pour toutes les permutations possibles de a, b, c, a0/(1+a1a2)+a1/(1+a0a2)+a2/(1+a0a1)=a/(1+bc)+b/(1+ac)+c/(1+ab)
Pour tout a, b et c, on a alors
Si a=a0, alors a0/(1+a1a2)=a/(1+bc)
Si b=a0, alors a0/(1+a1a2)=b/(1+ac)
Si c=a0, alors a0/(1+a1a2)=c/(1+ab)
Si a=a1, alors a1/(1+a0a2)=a/(1+bc)
Si b=a1, alors a1/(1+a0a2)=b/(1+ac)
Si c=a1, alors a1/(1+a0a2)=c/(1+ab)
Si a=a1, alors a2/(1+a0a1)=a/(1+bc)
Si b=a1, alors a2/(1+a0a1)=b/(1+ac)
Si c=a1, alors a2/(1+a0a1)=c/(1+ab)
Par addition membre à membre pour toutes les valeurs possibles de a, b et c on a : a0/(1+a1a2)+a1/(1+a0a2)+a2/(1+a0a1)=a/(1+bc)+b/(1+ac)+c/(1+ab)
La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation
salut messieurs svp pouvez vous nous aider à résoudre cette équation : 4^n*(5^n+5^n+1+5^n+2)=21^n*21
Bonsoir.
Une petite factorisation peut-être dans le membre de gauche pour commencer ?
Pourquoi ne pas avoir créer un nouveau fil ? En plus, le fil initial n'a rien à voir !...
Duke.
