barycentres DM premiere S

[JuliaBeaudoin]

Bonjour,

J'aimerais bien que quelqu'un puisse m'aider a résoudre les problèmes suivants:

Exercice 1)
ABC est un triangle, I est le milieu de [AC], D est le symétrique de B par rapport à C.
1) Faire une figure que l’on complétera par la suite.
2) Exprimer I et D comme barycentres de A, B et C munis de coefficients que l’on précisera.
3) On appelle G le barycentre de {(A, 2) (B, -1) (C, 2)} . Montrer que G est le point
d’intersection de (AD) et (BI).
4) (CG) coupe (AB) en K. Montrer que A est le milieu de [BK]



Exercice 2) (9 points)
ABC est un triangle, I est le milieu de [AB], J est le milieu de [CI]
1) Faire une figure que l’on complétera par la suite.
2) Exprimer J comme barycentre de A, B, C munis de coefficients que l’on précisera.
3) M étant un point quelconque du plan, simplifier l’expression des vecteurs u et v
définis
par vecteur u = MA+MB + 2MC,v = MA+MB - 2MC Que peut-on dire de ces vecteurs quand M est en C ?
4) On appelle C l’ensemble des points M du plan définis par u = v ||u||=||v|| , et D l’ensemble des
points M du plan tels que uet v
soient colinéaires. Déterminer C et D, ainsi que leur
intersection.

Exercice 3) (4 points)
Les deux questions sont indépendantes.
1) Soit ABCD un parallélogramme, et M un point quelconque. Montrer que MAC et MBD ont
même isobarycentre.
2) Soit G le barycentre de (A, -a) (B, a) (C, c). Montrer que G est sur la parallèle à (AB)
passant par C (a désigne un réel, c un réel non nul).



Merci,

Julia.

[Duke Alchemist]

Bonjour.

On veut bien t'aider mais il faudrait que tu indiques ce que tu as fait (ou que tu comptes faire, des pistes, des points de départ)...

Cordialement,
Duke.

[JuliaBeaudoin]

Duke Alchemist,

J'ai beau cherché mais je ne sais pas par ou commencer.

Je suis en première S mais je ne comprends absolument rien aux barycentres.
Pouvez vous me donner quelques pistes au moins?

Merci d'avance.

[gillesh38]

quand t'as des notes dans différentes matières, avec des coefficients différents ( 5 pour les math, 3 pour le français etc..), tu sais comment calculer ta moyenne avec les coefficients ?

[JuliaBeaudoin]

quand t'as des notes dans différentes matières, avec des coefficients différents ( 5 pour les math, 3 pour le français etc..), tu sais comment calculer ta moyenne avec les coefficients ?

oui je sais, mais je vois pas en quoi sa pourrait m'aider pour par exemple montrer que A est le milieu de [BK]

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Exercice 1 :
1. OK je suppose.
2. Deux points :
* Sais-tu exprimer la définition du point G barycentre de trois points pondérés (A,a), (B,b) et (C,c) sous forme vectorielle ? (définition générale)
* Que peux-tu dire des coefficients si G est :
- le centre de gravité du triangle ABC ?
- le milieu de [AB] ? (pour [AC] et [BC] le principe serait le même)

Donc il te suffit d'exprimer vectoriellement I milieu de [AC] et de le traduire en barycentre.
Idem pour D.

Pour répondre à ta question concernant les moyennes :
une moyenne est un barycentre de valeurs (notes comprises généralement entre 0 et 20) et pouvant être coefficientées.
En géométrie, le principe est le même sauf que nous avons des vecteurs au lieu des notes

Duke.

EDIT : En gros, il suffit de faire le lien entre la définition du barycentre et sa traduction vectorielle

[JuliaBeaudoin]

Exercice 1)
ABC est un triangle, I est le milieu de [AC], D est le symétrique de B par rapport à C.
1) Faire une figure que l’on complétera par la suite.
2) Exprimer I et D comme barycentres de A, B et C munis de coefficients que l’on précisera.
3) On appelle G le barycentre de {(A, 2) (B, -1) (C, 2)} . Montrer que G est le point
d’intersection de (AD) et (BI).
4) (CG) coupe (AB) en K. Montrer que A est le milieu de [BK]

Bonjour.

Exercice 1 :
1. OK je suppose.
2. Deux points :
* Sais-tu exprimer la définition du point G barycentre de trois points pondérés (A,a), (B,b) et (C,c) sous forme vectorielle ? (définition générale)
* Que peux-tu dire des coefficients si G est :
- le centre de gravité du triangle ABC ?
- le milieu de [AB] ? (pour [AC] et [BC] le principe serait le même)

Donc il te suffit d'exprimer vectoriellement I milieu de [AC] et de le traduire en barycentre.
Idem pour D.

Pour répondre à ta question concernant les moyennes :
une moyenne est un barycentre de valeurs (notes comprises généralement entre 0 et 20) et pouvant être coefficientées.
En géométrie, le principe est le même sauf que nous avons des vecteurs au lieu des notes

Duke.

EDIT : En gros, il suffit de faire le lien entre la définition du barycentre et sa traduction vectorielle

1. Oui
2. C’est bien vecteur GA + vecteur GB + vecteur GC = vecteur 0?
Si G est le centre de gravite du triangle ABC alors les coefficients a = b = c non?
Si G est le milieu de AB alors un des coefficients est nul? :/

Donc:
GA + GB + GC = 0
Mais apres je sais pas comment montrer que I barycentre de ABC :/

Merci beaucoup pour ton aide sinon et aussi pour ta reponse concernant les moyennes J
As- tu des idees pour le 3 et le 4?





Julia.

[Duke Alchemist]

Re-

2. C’est bien vecteur GA + vecteur GB + vecteur GC = vecteur 0?
Si G est le centre de gravite du triangle ABC alors les coefficients a = b = c non?

oui.

Si G est le milieu de AB alors un des coefficients est nul? :/

oui mais pas n'importe lesquels.

Adapte-toi à l'énoncé :
Comment écris-tu vectoriellement I milieu de [AC] ? et D symétrique de B par rapport à C ?

EDIT : Pour 3 : Montre que G appartient simultanément aux deux droites (via les vecteurs ou les barycentres)

[JuliaBeaudoin]

Re-
oui. oui mais pas n'importe lesquels.

Adapte-toi à l'énoncé :
Comment écris-tu vectoriellement I milieu de [AC] ? et D symétrique de B par rapport à C ?

EDIT : Pour 3 : Montre que G appartient simultanément aux deux droites (via les vecteurs ou les barycentres)

Pour que G soit le milieu de AB, il faut que a = b different de 0
Donc g est l'isbobarycentre de A et B
vecteur GA + vecteur GB = vecteur nul
c'est bien sa?


Donc vectoriellement I milieu de AC:
les coefficients a et b sont egaux (mais differents de zero)
donc vecteur IA + vecteur IC = vecteur nul
donc I isobarycentre de A et C
I milieu de [AC]
Donc on peut prendre par exemple comme coefficient (A, 2) et (C,2) ?

Ensuite pour D symétrique de B par rapport a C:
vectoriellement cela fait veteur CD = vecteur CB non?
vecteur CD + vecteur CB = vecteur nul
donc si on décompose sa fait:
vecteur CD + vecteur CB = vecteur nul
<=> vecteur ( CB + BD) + vecteur CB = vecteur nul
<=> 2vecteur CB + BD = vecteur nul
On sait que (C;2)
Et la je bloque
Néanmoins, je sais quand meme que B doit etre négatif car D est a l'extérieur et C a un coéfficient plus élevé que B car D se trouve plus près de C que de B. et on devrait trouver donc (B,-1) ( C,2)

Sinon pour le 3.
G = bar { (A,2) (B-1), (C,2) }
D'après le "théorème" de l'associativité,

G = bar { (A,2) (B-1), (C,2) }
on sait que I = bar { (A,2) , (C,2) }
donc G = bar { (I, 4) (B, -1) }


G = bar { (A,2) (B-1), (C,2) }
on sait que D = bar { (C,2) , (B, -1) }
donc G = bar { (D, 1) (A,2) }


Ensuite je bloque.

J'essaye de réfléchir pour le 4)



Merci beaucoup Duke Alchemist.

[JuliaBeaudoin]

Exercice 2) (9 points)
ABC est un triangle, I est le milieu de [AB], J est le milieu de [CI]
1) Faire une figure que l’on complétera par la suite
.
2) Exprimer J comme barycentre de A, B, C munis de coefficients que l’on précisera.

3) M étant un point quelconque du plan, simplifier l’expression des vecteurs u et v
définis
par vecteur u = MA+MB + 2MC,
v = MA+MB - 2MC
Que peut-on dire de ces vecteurs quand M est en C ?

4) On appelle C l’ensemble des points M du plan définis par ||u||=||v|| ,
et D l’ensemble des points M du plan tels que u et v soient colinéaires.
Déterminer C et D, ainsi que leur intersection.

Pour l'exercice 2)

2)
J = bar { (A, a) (B, b) (C, c)
Soit ABC trois points du plan tel que a, b et c trois réels et que a+b+c =/ 0 (différents de 0)
Il existe un seul unique point J tel que
a vecteur JA + b vecteur JB + c vecteur JC = vecteur nul

J = bar { (A, a) (B, b) (C, c)

Sachant que I milieu de [AB]. (a = b =/ 0)
I est donc l'isobarycentre de A et B
Ainsi, vecteur IA + vecteur IB = vecteur nul.
donc I = bar { (A,2) (B,2) }

I = bar { (A,2) (B,2) }
I (4) = bar { (A,2) (B,2) }

Sachant que J est le milieu de [CI] (a = b =/ 0)
J est donc l'isobarycentre de C et I
Ainsi, vecteur JC + vecteur JI = vecteur nul.
donc comme I = bar { (A,2) (B,2) }
et que donc le coefficient de I = a+b = 2+2 = 4
J = bar { (I,4), (C, 4) }

J = bar { (A,2) (B,2) (C,4) }

3) je ne vois pas que peut - on dire de ces vecteurs quand M est en C.

4)
Pour l'ensemble C:
|| vecteur u || = || vecteur v ||
vecteur MA + vecteur MB + 2vecteur MC = vecteur MA + vecteur MB - 2 vecteur MC

ce que j'ai fait c'est que j'ai essayé de décomposer ce vecteur u en insérant J.
en gros ||vecteur MA + vecteur MB + 2vecteur MC ||=
|| vecteur MJ + JA + MJ + JB + MJ + JC + MJ + JC || ( tous des vecteurs)

donc JA + JC + JB = 0 (VECTEURS) donc on l'enleve
il reste plus que || 4 MJ + JC || = || 4 MC || ?

ensuite je fais de meme avec le vecteur v

( vecteurs ) || MA + MC - 2 MC || =
MJ + JA + MJ + JB + MC - (MJ + JC) - (MJ + JC ) || = 0
on simplifie et je trouve || JC || = 0?
mais je ne pense pas que c'est sa :/

et sans l'ensemble C je ne peux pas faire l'ensemble D. :/

A l'aide?

Merci.

[JuliaBeaudoin]

Exercice 3) (4 points)
Les deux questions sont indépendantes.
1) Soit ABCD un parallélogramme, et M un point quelconque. Montrer que MAC et MBD ont
même isobarycentre.
2) Soit G le barycentre de (A, -a) (B, a) (C, c). Montrer que G est sur la parallèle à (AB)
passant par C (a désigne un réel, c un réel non nul).

Pour l'exercice 3

1) Impossible.

2) Il faut montrer que G est sur la parallele a (AB) passant par C.
Comme ABCD est un parallelogramme donc obligatoirement (AB) // (DC) donc G se trouve sur CD n'est ce pas?
Ainsi pour que G se il faut que un des coeff soit nul, alors qu'ici ils disent que c un reel NON nul) .

Merci.

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Pour que G soit le milieu de AB, il faut que a = b different de 0
Donc g est l'isbobarycentre de A et B
vecteur GA + vecteur GB = vecteur nul
c'est bien sa?

En effet, c'est bien ça avec c=0

Donc vectoriellement I milieu de AC:[/U]
les coefficients a et b sont egaux (mais differents de zero)
donc vecteur IA + vecteur IC = vecteur nul
donc I isobarycentre de A et C
I milieu de [AC]
Donc on peut prendre par exemple comme coefficient (A, 2) et (C,2) ?

J'aurais fait dans l'autre sens :
I milieu de [AC] => IA = -IC => IA + IC = 0 => I bar{(A,1)(C,1)}
Pourquoi prendre 2 ? Même si c'est bon, prend le plus petit coefficient possible afin de te simplifier les éventuels calculs qui pourraient suivre.

Ensuite pour D symétrique de B par rapport a C:
vectoriellement cela fait veteur CD = vecteur CBnon?

Non... CD = -CB ! (puisque C milieu de [BD]

vecteur CD + vecteur CB = vecteur nul

oui

donc si on décompose ça fait:
vecteur CD + vecteur CB = vecteur nul

OK

<=> vecteur ( CB + BD) + vecteur CB = vecteur nul
<=> 2vecteur CB + BD = vecteur nul

Non non non... Il faut faire apparître le point D puisque c'est lui que tu veux exprimer en termes de barycentre.
Tu dois obtenir une forme du style aDA + bDB + cDC = 0

On sait que (C;2)
Et la je bloque

Tu m'étonnes... cela ne veut rien dire

Néanmoins, je sais quand meme que B doit etre négatif car D est a l'extérieur et C a un coéfficient plus élevé que B car D se trouve plus près de C que de B. et on devrait trouver donc (B,-1) ( C,2)

Bon réflexe . C'est en effet ce que tu dois retrouver.

Sinon pour le 3.
G = bar { (A,2) (B-1), (C,2) }
D'après le "théorème" de l'associativité,

G = bar { (A,2) (B-1), (C,2) }
on sait que I = bar { (A,2) , (C,2) }
donc G = bar { (I, 4) (B, -1) }


G = bar { (A,2) (B-1), (C,2) }
on sait que D = bar { (C,2) , (B, -1) }
donc G = bar { (D, 1) (A,2) }


Ensuite je bloque.

Tu as fait le plus dur. De ta première relation, tu déduis que G appartient à (BI) et de la deuxième que G appartient à (AD) donc...

EDIT : En gras, dans les relations mathématiques, ce sont des vecteurs... mais tu l'avais compris je suppose

[Duke Alchemist]

Pour l'exercice 2)

2)
J = bar { (A, a) (B, b) (C, c)
Soit ABC trois points du plan tel que a, b et c trois réels et que a+b+c =/ 0 (différents de 0)
Il existe un seul unique point J tel que
a vecteur JA + b vecteur JB + c vecteur JC = vecteur nul

J = bar { (A, a) (B, b) (C, c)

Sachant que I milieu de [AB]. (a = b =/ 0)
I est donc l'isobarycentre de A et B
Ainsi, vecteur IA + vecteur IB = vecteur nul.
donc I = bar { (A,2) (B,2) }

I = bar { (A,2) (B,2) }
I (4) = bar { (A,2) (B,2) }

Sachant que J est le milieu de [CI] (a = b =/ 0)
J est donc l'isobarycentre de C et I
Ainsi, vecteur JC + vecteur JI = vecteur nul.
donc comme I = bar { (A,2) (B,2) }
et que donc le coefficient de I = a+b = 2+2 = 4
J = bar { (I,4), (C, 4) }

J = bar { (A,2) (B,2) (C,4) }

C'est bon mais deux remarques :
- Il y avait moyen de faire plus court (pour la rédaction) avec l'associativité des barycentres.
- Simplifie tes coefficients de manière à ce qu'ils soient les plus petits possibles. Ici, J = bar{(A,1),(B,1),(C,2)}

3) je ne vois pas que peut - on dire de ces vecteurs quand M est en C.

Que donne u et v quand on les simplifie ?
u = MA + MB + 2MC en insérant J on trouve...
v = MA + MB - 2MC ajoute et retranche 4MC et en insérant J on trouve...

Même sans la simplification, tu vois immédiatement à partir des définitions de ces deux vecteurs ce qu'il se passe quand M est en C, non ?

4)
Pour l'ensemble C:
|| vecteur u || = || vecteur v ||
vecteur MA + vecteur MB + 2vecteur MC = vecteur MA + vecteur MB - 2 vecteur MC

ce que j'ai fait c'est que j'ai essayé de décomposer ce vecteur u en insérant J.
en gros ||vecteur MA + vecteur MB + 2vecteur MC ||=
|| vecteur MJ + JA + MJ + JB + MJ + JC + MJ + JC || ( tous des vecteurs)

donc JA + JC + JB = 0 (VECTEURS) donc on l'enleve
il reste plus que || 4 MJ + JC || = || 4 MC || ?

ensuite je fais de meme avec le vecteur v

( vecteurs ) || MA + MC - 2 MC || =
MJ + JA + MJ + JB + MC - (MJ + JC) - (MJ + JC ) || = 0
on simplifie et je trouve || JC || = 0?
mais je ne pense pas que c'est sa :/

et sans l'ensemble C je ne peux pas faire l'ensemble D. :/

Ce que tu as fait ici au début est ce qu'on te demande de faire au 3.
Une fois les expressions de u et v simplifiées, tu peux facilement exprimer u=v (en norme).
Dis-moi la relation que tu as trouvée.

Un truc positif : tu as de bons réflexes. Tu te poses la question de savoir si ton résultat est bon. C'est très bien ça. Maintenant, il te suffit de trouver les bons résultats et revoir un peu la façon de rédiger (qui me laisse parfois un peu dubitatif) et ce sera parfait.

[Duke Alchemist]

Exercice3.

1. Trivial
Pose G₁ le barycentre de MAC et G₂ le barycentre de MBD.
Etablis leur expression vectorielle (ce sont des isobarycentres).
Pars de celle avec G1 puis aboutis à celle avec G2 en utilisant une propriété d'un parallèlogramme.

2. Même procédé.
Etablis l'expression vectorielle de G barycentre de {...}.
réécris de manière à faire apparaître AB et GC et oh une illumination !...

[JuliaBeaudoin]

Bonjour,

Je voudrais tout d'abord te remercier pour tout ce temps que tu mets a lire mes reponses et a les corriger. Merci Beaucoup!

Non non non... Il faut faire apparître le point D puisque c'est lui que tu veux exprimer en termes de barycentre.
Tu dois obtenir une forme du style aDA + bDB + cDC = 0
Tu m'étonnes... cela ne veut rien dire
Bon réflexe . C'est en effet ce que tu dois retrouver.

Alors je sais quoi retrouver mais le probleme c'est que je ne sais pas comment rediger et a mon avis comme tu l'as signalé c'est un de mes petits problemes la rédaction


Ensuite pour la 3)
Alors on sait que G = bar { (A,2)(B,-1),(C,2) }
I = bar { (A,2); (C,2) }
D = bar { (C,2) ; (B,-1}

Donc grace au theoreme d'homogéneité, on peux donc " regrouper" les termes et on a :
G = bar { ( I, 4) (B-1) }
4 - 1 = 3
donc le "poids" de G est de 3.

On fait pareil, on remplace C et B par " D "
le poids de G est de 3.

Donc cela montre que G est le barycentre de de
{ (A,2) (D,1) }
et [ { I, 4} { B-1 } ]

donc G point d'interception de la droite (AD) et (B, -1)?

A peu pres la rédaction attendue ou pas?

Pour le 4) j'y ai réfléchi et enfaite c'est un peu comme la 2)
Il faut montrer que A il est le milieu de [KB]
On sait que le coefficient de a est de 2.
Le coefficient de B est de -1.
le coeff de G est de 3
Le coeff de C est de 2.

En gros, faut faire en sorte que le coefficient de K est de -1.
Mais je ne sais pas comment faire



pour l'exercice 2
Je trouve que u = 4MC
v = MC+CA + MC + CB = 2MC on simplifie on trouve donc CA + CB ?

pour le 4)
MA+MB+2MC = 4MC
On remplace C par J.
Donc ca fait 4MJ.
J'imagine que ca doit etre un cercle (ensemble C)
de rayon 4MJ?



Et l'ensemble D.
MA + MC - 2MC
(ensemble D) donc droite?
Donc CA+CB ?

pour l'exercice 3

1. Trivial
Pose G1 le barycentre de MAC et G2 le barycentre de MBD.
Etablis leur expression vectorielle (ce sont des isobarycentres).
Pars de celle avec G1 puis aboutis à celle avec G2 en utilisant une propriété d'un parallèlogramme.

2. Même procédé.
Etablis l'expression vectorielle de G barycentre de {...}.
réécris de manière à faire apparaître AB et GC et oh une illumination !...

1. Trivial en effet!
On note G1 donc le barycentre du triangle MAC
On sait que AB =DC
AD = BC


Et ensuite..

2. Alors,
a GA + b [B]GB/B] + c GC = vecteur nul
a etant un reel, c un reel non nul
(GC+CA) + (GA+GB) + GC = vecteur nul
GC + GC + GA = vecteur nul
donc il reste plus que CA?




Sinon merci beaucoup mais vraiment enormement pour tout ce que tu m'as dis, ca m'a beaucoup aidé et m'a permit de mieux comprendre les barycentres. Merci énormement.

Julia.