SPE DM division euclidienne & PGCD

[invitee089b530]

Bonjour à tous,
voilà,j'ai un Dm à faire, mais je n'arrive pas à démarrer. Je mets l'énoncé:

1)a) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2009 par 11.
b)Déterminer le reste dans la division euclidiene de 2¹⁰ par 11.
c)Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2²⁰⁰⁹+2009 par 11.

2)On désigne par p un nombre entier naturel. On considère pour tout entier naturel non nul n le nombre A_n=2ⁿ+p.
On note d_n le PGCD de A_n et A_n+1.
a) Montrer que d_n divise 2ⁿ
b) Déterminer la parité de A_n en fonction de celle de p. Justifier.
c)Déterminer la parité de d_n en fonction de celle de p.
En déduire le PGCD de 2²⁰⁰⁹+2009 et 2²⁰¹⁰+2009.

Voilà, alors honnêtement je suis un peu largué ^^
Je vais aller bosser dessus & poster mes idées..
Si vous pouviez m'aider, me donner des pistes, ça serait génial!

Pour le 1) ça va à peu près même si je suis pas sûre de la rédaction!Mais doit-on démontrer ou on peut juste se servir d'un programme sur la calculatrice?
Merci d'avance!
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[invitef90dcb08]

Salut:

1/ A) Reviens a la definition d'une division : a =bq +r ..
B) Congruence modulo 11 de 2 puis 2^1; 2^2...
C) D'apres de que tu as trouver a la B tu aura le reste de 2^2009 puis tu ajoute ta réponse a la A pour le "+2009"

Apres je ne peux pas t'aider on as pas encore vu tout ça..

[Jeanpaul]

Un truc qu'il faut savoir, c'est que le reste de la division par 11 d'un nombre écrit en base 10 vaut i-p où i est la somme des chiffres de rang impair et p la somme des chiffres de rang pair.
Exemple : 2009 : i = 9+0 et p = 0+2 soit i-p=7, facile à vérifier en faisant la division.
Pour 2^10=1024 (tous les informaticiens savent cela), combien vaut i-p ?

[invitee089b530]

Coucou, merci beaucoup Jordaneque et Jeanpaul pour votre aide

pour la 1)c) je trouve que le reste est 8. C'est ça?

Pour le 2) b), est-ce que je peux affirmer que 2ⁿ est toujours pair, ou je dois le démontrer? C'est alors simple.
par contre pour la 2)c), je bloque

Merci beaucoup

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Tu devrais détailler ton calcul de 1 c, on ne voit pas tes étapes.
Quel est le reste de la division de 2^10 ? et 2^2009 ?
Si tu prends le temps de démontrer que 2^n est pair, ça fera bien rigoler dans les chaumières.

[invitee089b530]

Rectification, pour la 1)c) je trouve un reste de 13. J'ai l'impression que je m'embrouille, c'est ça ou pas ?^^

Merci beaucoup.

[Jeanpaul]

Oui, mais 13 ça se divise encore et là ce sera bon.

[invitee089b530]

13 je peux le remplacer par 2, c'est ça? Merci beaucoup Jeanpaul
Par contre pour la 2)c), j'ai du mal ^^

Entout cas merci beaucoup

[Jeanpaul]

Si p est impair, An est impair et aucun nombre pair ne peut diviser un nombre impair (4 ne divise pas 21) donc dn ne peut être pair.
Si p est pair, tu peux toujours l'écrire 2^q.i où i est impair.
Regarde alors comment s'écrivent An et A(n+1)