Résolution d'une équation différentielle du second ordre linéaire, application à la physique

[Compol]

Salut à tous, je me pose quelques questions depuis le début de l'année sur la méthode de résolution des équations différentielles en physique.
En effet, considérons l'exemple du ressort avec masse qui oscille sans frottement sur un plan horizontal (cas le plus simple )
L'équation différentielle régissant l'élongation x en fonction du temps est:
x''+(k/m)*x=0

Méthode "physique" de la résolution:
La solution est de la forme : x(t)=Xm*cos(w_o*t+phi)
ou Xm élongation maximale, w_o pulsation propre en rad.s^-1, t en s et phi phase à l'origine en rad.

Méthode "mathématique":
L'équation caractéristique de cette équation est:
r²+(k/m)=0
D'ou delta=-4*(k/m) => sqrt(delta)=2*sqrt(k/m)*i (ou -2*sqrt(k/m)*i)
Alors, on a comme solution:
r₁=i*sqrt(k/m) ou r₂=-i*sqrt(k/m)
Par conséquent:
x(t)=e^a*t(A*cos(b*t)+B*sin(b*t)) ou A et B constantes arbitraires.
Comme a=0 et b=sqrt(k/m); alors:
x(t)=A*cos(sqrt(k/m)*t)+B*sin(sqrt(k/m)*t)
on pose w_o=sqrt(k/m)

Voila ma question: en utilisant les conditions initiales (vitesse et position pour t=0s) je sais que les 2 équtions vont aboutir au même résultat.
Toutefois, je n'arrive pas à faire apparaître le "phi" dans ma méthode mathématique ... Quelqu'un aurait-il une idée pour revenir à la formule de physique(avec phi) à partir de celle trouvée mathématiquement (sans phi) ?

Merci.

[zanz]

elementaire mon cher Watson (Sherlock vient de sortir ptite reference ^^)...
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) (le COsinus est un COnnard il melange pas)
donc tu pose cos(phi)=A/Xm et -sin(phi)=B/Xm

[Compol]

elementaire mon cher Watson (Sherlock vient de sortir ptite reference ^^)...
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) (le COsinus est un COnnard il melange pas)
donc tu pose cos(phi)=A/Xm et -sin(phi)=B/Xm

Alors dans ce cas , TOUTES les équations différentielles du second ordre ont comme solution : x(t)=A*cos(w_ot+phi) ☺
(ou x la fonction et t la variable)
C'est bien cela ?
EDIT : si delta<0 bien entendu

[zanz]

je dirai seulement lorsque l'equation caracteristique est du type a.r²+c=0 cad qu'il n'y a pas de b.

[Compol]

Ah oui, pour avoir une partie réelle nulle, encore faut-il que que c et a soient de même signe, pour que delta soit négatif ...