Devoir sur logarithme et intégrales
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Devoir sur logarithme et intégrales



  1. #1
    invitea97b4264

    Exclamation Devoir sur logarithme et intégrales


    ------

    Bonjour à tous !

    Je travaille sur un devoir de TS et je ne parviens pas a résoudre certaines questions. Voici l'énoncé :

    Partie A

    Soit f la fonction définie sur R par f(x) = ln(1+ e^-x) + 1/3x et C sa courbe représentative.

    1)a) Déterminer la limite de f(x)en +00.

    b) Montrer que la droite (D) d'équation y = 1/3x est asymptote à la courbe (C).

    c) Etudier la position relative de (D) et (C).

    d) Montrer que pour tout réel x, f(x) = ln(e^x+1) - 2/3x

    e) En déduire la limite de f en -00.

    Merci d'avance pour votre aide précieuse !!

    -----

  2. #2
    mag88

    Re : Devoir sur logarithme et intégrales

    Salut,

    Est-ce que ta fonction est f(x) = ln(1+ e^-x) + 1/(3x) ou f(x) = ln(1+ e^-x) + (1/3)x ?

  3. #3
    invitea97b4264

    Re : Devoir sur logarithme et intégrales

    Ma fonction est ln(1+ e^-x) + (1/3)x

  4. #4
    invitea97b4264

    Re : Devoir sur logarithme et intégrales

    Pour la question a) Je ne sais pas si mon raisonnement est correct parce que il pose probleme pour la suite de lexercice le voici :

    a) lim(x tend vers +00) (1/3)x = +00

    Soit g(x) = uov = ln(1+ e^-x) tel que u = ln x et v = 1+ e^-x
    lim(x tend vers +00) ln x = +00
    lim(x tend vers +00) 1+ e^-x = 1 car lim 1= 1 et lim(x tend vers +00) e^-x = 0
    => Selon le théorème de la limite de composées de fonctions lim(x tend vers +00) (ln(1+e^-x)) = +00

    Donc lim( x tend vers +00) f(x) = +00

    C'est correct ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite8741c18e

    Smile Re : Devoir sur logarithme et intégrales

    Citation Envoyé par lisette45170 Voir le message
    Pour la question a) Je ne sais pas si mon raisonnement est correct parce que il pose probleme pour la suite de lexercice le voici :

    a) lim(x tend vers +00) (1/3)x = +00

    Soit g(x) = uov = ln(1+ e^-x) tel que u = ln x et v = 1+ e^-x
    lim(x tend vers +00) ln x = +00
    lim(x tend vers +00) 1+ e^-x = 1 car lim 1= 1 et lim(x tend vers +00) e^-x = 0
    => Selon le théorème de la limite de composées de fonctions lim(x tend vers +00) (ln(1+e^-x)) = +00

    Donc lim( x tend vers +00) f(x) = +00

    C'est correct ?
    la limite est bien +
    tu peux écrire avec

  7. #6
    mag88

    Re : Devoir sur logarithme et intégrales

    Je pense que le résultat final est correct, la limite de la fonction en 0 est bien 0.

    Par contre le raisonnement n'est pas rigoureux car quand tu écris : "lim(x tend vers +00) ln x = +00" c'est faux. En effet la limite de ln x quand x tend vers 0 est -l'infini.

    En fait tu devrais poser y(x) = 1+ e^-x
    Tu as alors lim(x tend vers +0) y(x) =1 (comme tu l'as écrit)
    Ta fonction est alors f(x) = ln (y(x)) + (1/3)x

    Pour le premier terme :
    lim(x tend vers +0) ln (y(x)) = lim (y(x) tend vers 1) ln (y(x)) (car on a vu que quand x tend vers +0 alors y(x) tend vers 1)
    Et la limite de ln y quand y tend vers 1 est 0. Donc la limite du premier terme est 0

    Pour le deuxième terme : on a bien lim( x tend vers +0) (1/3)x = +0 comme tu l'as écrit aussi

    La limite totale est donc bien 0

  8. #7
    invitea97b4264

    Re : Devoir sur logarithme et intégrales

    Citation Envoyé par mag88 Voir le message

    La limite totale est donc bien 0
    Donc selon toi ma réponse est fausse ? Alphaprime pourtant la pense correcte =S

    Ps : quand j'écris +00 on comprend +l'infini et non +0 je pense qu'il y a eu une erreur de lecture de ta part

  9. #8
    invite8741c18e

    Smile Re : Devoir sur logarithme et intégrales

    "lisette" tu n'es pas obligé(e) d'écrire tout ce que tu as écrit,une fois que tu peux donner la limite à l'aide des limites usuelle tu l'écris sauf s'il y a des formes indéterminées à ce point là vous devez justifier..

  10. #9
    invitea97b4264

    Re : Devoir sur logarithme et intégrales

    Il faut que je justifie au maximum dans mes devoirs et puis ca m'aide a comprendre ^^

    Donc c'est correct alors ? Et pour la question b) je pense avoir faux car il faut trouver lim(x tend vers +00) f(x) - (1/3)x =0 et je trouve +00 =S Voici mon raisonnement :

    lim(x tend vers +00) f(x) - 1/3x = lim ln(1+e^-x)

    lim(x tend vers +00) ln x = +00
    lim(x tend vers +00) 1+ e^-x = 1 (voir question a)

    D'après le théorème de la fonction composée, lim(x tend vers +00) f(x) - 1/3x = +00

    Ou est mon erreur ? Pourtant ce raisonnement me semble correct

  11. #10
    invite8741c18e

    Smile Re : Devoir sur logarithme et intégrales

    Citation Envoyé par lisette45170 Voir le message
    Il faut que je justifie au maximum dans mes devoirs et puis ca m'aide a comprendre ^^

    Donc c'est correct alors ? Et pour la question b) je pense avoir faux car il faut trouver lim(x tend vers +00) f(x) - (1/3)x =0 et je trouve +00 =S Voici mon raisonnement :

    lim(x tend vers +00) f(x) - 1/3x = lim ln(1+e^-x)

    lim(x tend vers +00) ln x = +00
    lim(x tend vers +00) 1+ e^-x = 1 (voir question a)

    D'après le théorème de la fonction composée, lim(x tend vers +00) f(x) - 1/3x = +00

    Ou est mon erreur ? Pourtant ce raisonnement me semble correct

    donc la courbe d'équation est asymptote à la courbe d'équation en +
    Images attachées Images attachées  

  12. #11
    mag88

    Re : Devoir sur logarithme et intégrales

    Ah oui c'est moi qui ai mal lu, je n'avais pas compris que oo voulait dire infini.

    Autant pour moi

  13. #12
    mag88

    Re : Devoir sur logarithme et intégrales

    La réponse est donc bien +infini
    Par contre il n'y a pas de raison d'écrire "lim(x tend vers +00) ln x = +00" car ce qu'il y a dans le ln ne tend pas vers l'infini mais vers 1 comme tu l'as calculé aussi.
    Finalement le premier terme de la fonction tend vers 0 et le deuxième tend vers +infini donc le total tend vers +infini

  14. #13
    mag88

    Re : Devoir sur logarithme et intégrales

    Je pense que ton raisonnement en fonction composée est faux, c'est pour ça que tu ne trouves la bonne réponse à la b).

    En effet tu dois dire quand x tend vers +infini alors 1+e^-x tend vers 1
    Donc lim quand x tend vers +infini (ln (1+e^-x)) = lim quand x tend vers +infini (ln (1)) = 0
    Et là tu retrouves bien la bonne réponse pour la question b)

  15. #14
    invitea97b4264

    Re : Devoir sur logarithme et intégrales

    Citation Envoyé par AlphaPrime Voir le message

    donc la courbe d'équation est asymptote à la courbe d'équation en +
    Oui je le sais tout ca mais ce que je ne vois pas c'est ou est l'erreur dans mon raisonnement ? =S

  16. #15
    invitea97b4264

    Re : Devoir sur logarithme et intégrales

    Donc si jai bien compris quand on a une fonction du type f(x) = ln(ax+b) , lim f(x) = lim ax+b ?

  17. #16
    Plume d'Oeuf

    Re : Devoir sur logarithme et intégrales

    Citation Envoyé par lisette45170 Voir le message

    lim(x tend vers +00) f(x) - 1/3x = lim ln(1+e^-x)

    lim(x tend vers +00) ln x = +00
    lim(x tend vers +00) 1+ e^-x = 1 (voir question a)

    D'après le théorème de la fonction composée, lim(x tend vers +00) f(x) - 1/3x = +00
    Bonjour,

    Pour prouver que deux courbes sont asymptotes, il faut montrer que leur écart tend vers 0. C'est bien ce que tu cherches à faire en calculant :



    Il se trouve juste que ne tend pas vers quand tend vers .

    Essaie de revoir cette limite, et de corriger du même coup le raisonnement mené pour la question 1.

    Bon courage!

  18. #17
    invitea97b4264

    Re : Devoir sur logarithme et intégrales

    Merci ^^ je crois que j'ai compris mais si tu pouvais m'aider aussi pour la 1)c) je coince un peu ! =P

  19. #18
    Plume d'Oeuf

    Re : Devoir sur logarithme et intégrales

    Citation Envoyé par lisette45170 Voir le message
    Donc si jai bien compris quand on a une fonction du type f(x) = ln(ax+b) , lim f(x) = lim ax+b ?
    Non.

    Même si sous certaines conditions ceci peut être vérifié, d'une manière générale ça ne l'est pas.

    Premièrement il aurait fallu préciser que sont a et b (des constantes? réelles? rationnelles? des fonctions?)

    Ensuite il faut prendre la peine de préciser le domaine de définition de : qu'en est il si a et b sont négatifs? Si seul a est négatif?

    Enfin, la fonction dont on prend le logarithme n'est pas affine, mais de la forme . Il n'est à priori pas possible en Terminale S de dire que est une constante réelle. Même par la suite il faudrait poser des conditions sur x (x petit par exemple).

    Bon courage!

  20. #19
    Plume d'Oeuf

    Re : Devoir sur logarithme et intégrales

    La question 1c) est un classique du genre.

    Etudier la position relative de deux courbes signifie trouver laquelle est au dessus de l'autre, et sur quel intervalle.

    En d'autre termes il faut étudier le signe de l'écart de leurs équations.

    Bon courage!

  21. #20
    mag88

    Re : Devoir sur logarithme et intégrales

    Citation Envoyé par lisette45170 Voir le message
    Donc si jai bien compris quand on a une fonction du type f(x) = ln(ax+b) , lim f(x) = lim ax+b ?
    Pour résumer, je pense qu'on peut dire que, si f(x) = ln (ax+b) alors lim(f(x)) = lim(ln(lim(ax+b)))

    Ou dans le cas de ton exercice, lim (ln(1+ e^-x)) = lim (ln (lim (1+e^-x)))

    Mais ce n'est pas du tout rigoureux d'écrire ça, c'est juste pour expliquer, ne le mets pas dans ton devoir

  22. #21
    invite8741c18e

    Smile Re : Devoir sur logarithme et intégrales

    pour 1-c.
    vous devez étudier le signe de .

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