démonstration vecteurs orthogonaux (Geo Espace Lycée)

[David51]

Bonjour.

Voici mon problème.

Dans l'espcae, et sont deux vecteurs orthogonaux à un vecteur d'un plan (P).

Peut-on affirmer que et sont colinéaires ? Autrement que peut-on dire sur ces deux vecteurs ?
Il me semble que la réponse à la 1ère question est non sauf si on impose aux deux vecteurs en question d'être deux vecteurs du plan (auquel cas on est ramené à un problème de géométrie plane). Mais que peut-on répondre à la 2ème question ?


Autre question : Le théorème dit "du toit" est bien connu en géométrie dans l'espace, connaissez-vous également le théorème dit de "la porte" ? Il me semble en avoir entendu parler mais j'ai oublié de quoi il s'agissait et je n'ai rien trouvé sur google ...

Merci d'avance pour toute aide ou information.

[arnaudmattei]

Ils appartiennent à l'orthogonal de u, défini comme l'ensemble des vecteurs orthogonaux. C'est un espace vectoriel de dimension 2, autrement dit un plan. On ne peut pas dire grand chose, c'est-à-dire rien du tout.

Par exemple, prends la base orthonormée i, j, k.
i orthogonal à k,
j orthogonal à k,
mais i et j ne sont pas colinéaires.

Et c'est pareil si tu prends, i, i+j, et k.... ou i, u, k, ou u appartient à xOy...

[chouket]

coucou,

j'ai eu la même idée qu'arnaudmattei pour le repère orthonormal (de l'espace), tu peux dire que ces deux vecteurs sont coplanaires, et encore, pas toujours (s'il n'ont aucun point commun, il me semble qu'ils ne le sont même pas...), sinon ils peuvent aussi être confondu, mais ce sont des cas particuliers, je ne vois pas vraiment comment on pourrait faire une généralité...

sinon, pour le théorème du toit, je l'ai vu cette année en classe (term), (comme tu l'as dit, bien utile... ) mais par contre je n'ai jamais entendu parler du théorème de la porte, j'ai donc fait une recherche google... et rien. Donc si ce théorème existe, ça me plairait bien de savoir de quoi il parle, juste par curiosité

par avance, merci.
amicalement
chouket

[arnaudmattei]

Un million d'euros pour qui arrive à me convaincre de l'existence de deux vecteurs non coplanaires dans R^3 ou même tout espace vectoriel....

[chouket]

coucou,
si tu les prends orthogonnaux sans aucun points communs ça ne marche pas?
ps: je n'arrive pas bien à me faire une représentation de l'espace donc necrie pas trop fort si j'eviens de sortir une grosse bétise ...
amicalement,
chouket

edit:
oups, c'est mieux si c'est des droites...

[arnaudmattei]

Quand tu représentes des vecteurs, tu prends leur origine en 0... mais cela ne sert qu'à voir les choses, je pense.
Un vecteur s'écrit par exemple: (1,0,0) pour le vecteur 1....
Ce sont comme tu le notes si bien les droites qui ne sont pas coplanaires....


Après même quand tu parles de matrices etc... deux matrices sont toujours " coplanaires "

Pour deux vecteurs e1, e2, on note VECT(e1,e2) le plus petit sous-espace contenant e1, e2... Il est de dimension 0 (point), 1 (droite) ou 2 (plan)....

[arnaudmattei]

Chouquette, réponds à mes messages privés stp

[David51]

sinon, pour le théorème du toit, je l'ai vu cette année en classe (term), (comme tu l'as dit, bien utile... ) mais par contre je n'ai jamais entendu parler du théorème de la porte, j'ai donc fait une recherche google... et rien. Donc si ce théorème existe, ça me plairait bien de savoir de quoi il parle, juste par curiosité

par avance, merci.
amicalement
chouket

Merci à tous pour vos réponses.
Quand au 2ème théorème, (s'il existe et si j'obtiens sa formulation précise), je n'hésiterais pas à donner sa définition ici.
A bientôt.