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Formules trigonometriques.

  1. yuyun

    Date d'inscription
    février 2010
    Messages
    107

    Formules trigonometriques.

    Bonjour.

    Ce n'est pas une question, mais j'ai voulu faire un petit rappel de formules trigonometrique, pour ceux qui en aurait besoin.

    1) cos²(x)+sin²(x)=1

    2) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) Attention -
    cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

    3)sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b) cos(a)
    sin(a-b)=sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a) attention -

    4)cos(p)+cos(q)=2cos((p+q)/2)cos((p-q)/2)
    cos(p)-cos(q)=-2sin((p+q)/2)sin((p-q)/2)

    5)sin(p)+sin(q)=2sin((p+q)/2)cos((p-q)/2)
    sin(p)-sin(q)=2cos((p+q)/2)sin((p-q)/2)

    6) cos(2x)=2cos²(x)-1
    cos(2x)=1-2sin²(x)
    cos(2x)=cos²(x)-sin²(x)

    7)sin(2x)=2sin(x)cos(x)

    Uniquement si a et b different de pi/2 [pi]

    8)si 1+tan(a)tan(b) different de 0
    tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))
    tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))

    Les formules qui sauvent la vie pour les primitives
    t=tan(x/2)
    9) cos(x)=(1-t²)/(1+t²)
    10)sin(x)=(2t)/(1+t²)
    11) si t different de -1 et 1
    tan(x)=2t/(1-t²)

    12)cos²(x)=1/(1+tan²(x)); x different de pi/2[pi]
    sin²(x)=1/(1+cotan²(x)); x different de pi[pi]
    1+tan²(x)=1/(cos²(x)) x different de pi/2




    Les demonstrations.
    1) On utilise la formule d'Euler
    exp(ix)=cos(x)+isin(x); i€C

    On a sin(x)=(exp(ix)-exp(-ix))/(2i)
    cos(x)=(exp(ix)+exp(-ix))/(2)

    Mettre sin(x) au carré, et cos(x) aussi; faire l'addition.La formule est démontré.

    2)3)4)5)On réutilise les formules d'Euler

    6)cos(2x)=cos(x+x)=cos(x)cos(x )-sin(x)sin(x) On utilise 2)
    cos(2x)=cos²(x)-sin²(x)

    cos(2x)=cos²(x)-sin²(x);
    d'après 1) sin²(x)+cos²(x)=1
    Donc -sin²(x)=-1+cos²(x) (on fait passer de l'autre coté)
    cos(2x)=cos²(x)+cos²(x)-1
    cos(2x)=2cos²(x)-1

    cos(2x)=cos²(x)-sin²(x)
    D'après 1) -cos²(x)=-1+sin²(x)
    Donc: cos²(2x)=1-sin²(x)

    7)sin(2x)=sin(x+x)
    sin(2x)=cos(x)sin(x)+cos(x)sin (x)
    sin(2x)=2cos(x)sin(x).
    On a utilisé 5)

    8)long, remplacer tan(u)=sin(u)/cos(u)
    Utiliser les formules de developpement du sin et cos, en étant patient on arrive au resultat.

    9)10)11)Il suffit de remplacer.

    12)cos²(x)+sin²(x)=1
    1+tan²(x)=1/(cos²(x)) On divise par cos²(x)

    On fait la fonction inverse de la derniere expression.
    1+tan²(x)=1/(cos²(x)) si 1+tan²(x) different de 0
    1/(1+tan²(x))=(1/1/(cos²(x))
    cos²(x)=1+tan²(x). Diviser une division, c'est la multipiler par son deuxieme diviseur(mal dit)

    cotan(x)= cos(x)/sin(x)
    On fait la même chose.

    Voilà, je sais qu'il manque pas mal de formules, mais ce sont celles qu je trouve les plus importantes, il manque aussi la linearisatio(comme cos²(x)=(1+cos(2x)/2)); des demonstration faites(pas seulement les idées, mais c'est long à faire); et être moins faineant ne pas écrire :1+tan²(x) different de 0, mais donner les x, tel que cette expression soit different de0.
    Ce sera à venir.

    S'il y a des questions ou des remarque, ou des corrections...

    -----

     


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  2. Torvald

    Date d'inscription
    août 2010
    Localisation
    Devant l'ordi
    Âge
    24
    Messages
    80

    Re : Formules trigonometriques.

    Salut et merci yuyun pour ce formulaire.

    Cela m'a servi et en servira j'en suis sûr beaucoup d'autres.

    Diviser une division, c'est le multiplier pour l'inverse. Si ça peut permettre à d'autres de mieux comprendre...
     





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