Equadiff y'' = C / y²

[invitecd2beb0d]

Bonjour à vous, j'aimerai vous demander de l'aide pour la résolution d'une équation différentielle:

y" = C / y²

merci d'avance pour votre aide ^^

[Jon83]

Bonjour!
Cela se fait en deux étapes; en premier, commence par chercher une primitive de

[invitecd2beb0d]

Si y' apparaît, on à P[Cy'/y²] = -C/y + K

On à donc y''y' = Cy'/y² <=> P[y''y'] = P[Cy'/y²]

<=> y'²/2 = -C/y + K

Suis-je sur le bon chemin ?

[invite5150dbce]

Oui tu peux isoler y' et l'exprimer en fonction de y (attention 2 cas à traiter avec la racie carré)
Ainsi tu as une équation de la forme y'.u'(y)=a avec a constante
Il te suffit alors de trouver une primitive de u

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jon83]

Oui tu peux isoler y' et l'exprimer en fonction de y (attention 2 cas à traiter avec la racie carré)
Ainsi tu as une équation de la forme y'.u'(y)=a avec a constante
Il te suffit alors de trouver une primitive de u

Bonsoir!
Mais que vaut u(y) dans ton expression?
Personnellement, en partant de et en séparant les variables, j'obtiens
Mais je n'arrive pas à trouver le bon changement de variable pour intégrer....

[invite5150dbce]

Personnelement, c'est exactement la même chose que la technique de séparation des variables mais je trouve cette méthode plus clair car elle fait apparaître la dérivée d'une fonction composée.

Ensuite pour trouver une primitive d'une fonction de la forme sqrt((x+b)/(x+c))
On peut simplifier l'expression en écrivant sqrt((x+b)/(x+c))=(x+b)/sqrt((x+b)(x+c))=(x+b)/sqrt(x²+(b+c)x+bc)
Ensuite selon le signe du discriminant, on peut reconnaître la dérivée de sh ou ch
attention au numérateur et ne pas oublier de faire des changements de variable

[Jon83]

La fonction ne se présente pas sous la forme que tu indiques! Donc ici je trouve, sauf erreur de ma part, que ta méthode n'aboutie pas...

[invite5150dbce]

La fonction ne se présente pas sous la forme que tu indiques! Donc ici je trouve, sauf erreur de ma part, que ta méthode n'aboutie pas...

Non mais sérieusement, tu te fiches de moi ???

On va faire comme au collège alors
Dans la racine, mets tout au même dénominateur

[Jon83]

Laisse tomber...

[invite5150dbce]

Laisse tomber...

Soit plus explicite dans ce cas

[invite51d17075]

bonjour hhh,
personnellement, j'aprecierais que tu ailles au bout de la résolution de l'équation proposée, car au depart, je n'ai même pas saisi pourquoi tu choisissais une primitive de la forme que tu decris
( a moins de connnaitre déjà le problème sans le dire )
celà étant :
ça sent effectivement du cosh et du sinh ( reniflement personnel )
même si ça me semble un peu hardos pour un exercice de lycée.

[invitecd2beb0d]

Re-bonjour à tous, merci pour vos aides.

En ce qui me concerne, j'en suis bloqué à:

y' = +- sqrt(-2(C/y + K))

y' . sqrt ( y / 2(Ky -C) ) = +- 1

On rettrouve donc bien la forme y'.u'(y)=const proposée par hhh86, mon problème vient quand il faut trouver P[ sqrt(x/(ax+b)) ]

Je vais essayer avec ta simplification; x / sqrt (x(ax+b))