Nombre de Mersenne

loliol · 25/09/2011 - 21h27

Besoin d'aide à partir de la question 2 ^^'

Pour n supérieur ou égal à 1 , le n-ième nombre de Mersenne est le nombre Mn = 2^n - 1

1. Quels sont les nombres premiers parmi les nombres Mn pour n inférieur ou égal à 6 ?

2. Montrer que, si d est un diviseur de n , Mn est divisible par 2^d - 1 . En déduire que si Mn est
premier, alors n est premier.

3. Si p est premier, Mp est-il également premier ?

4. Montrer que, si a^n - 1 est premier, alors nécessairement a=2 et n est premier.

S321 · 25/09/2011 - 23h49

Bonjour,

Pour la question 2 vous pouvez écrire n=kd et vous devez montrer que 2^d-1 divise 2_kd-1. Par congruence vous n'y arriverez pas, en revanche ça revient à montrer que (2^kd-1)/(2^d-1) est un entier. Et en fait ça c'est une forme que vous connaissez. Je vous donne un petit indice :
$\frac{2^{kd}-1}{2^d-1}=\frac{1-(2^d)^k}{1-(2^d)}$

Là ça devrait ressembler à quelque chose que vous connaissez.

Pour la deuxième partie de la question, faites le par contraposition. Supposez n non premier, ce sera assez évident que M_n non plus.

Pour la question 3, je vais vous épargnez pas mal de calculs. Essayez avec M₁₁

Enfin la 4, vous pouvez faire une disjonction de cas suivant a. Déjà si a=2 vous avez montrer le résultat à la question 2. Puis vous regardez a>2 et vous tentez de montrer que aⁿ-1 n'est jamais premier. Encore une fois il y a des cas où c'est simple.

loliol · 27/09/2011 - 09h25

Merci beaucoup pour votre aide précise et complète !

loliol · 27/09/2011 - 09h54

Pour la question 4), est-il possible de faire autrement ?

S321 · 27/09/2011 - 13h58

Si en effet, d'ailleurs je n'arrive pas à conclure moi-même. De tête j'avais fait tomber tous les nombres impaires (donc tous les nombres premiers aussi) ainsi que les puissances de 2, ça m'a laissé penser qu'on pourrait facilement finir ^^.

Donc il y a beaucoup plus simple. aⁿ-1 est divisible par a-1, je vous laisse justifier pourquoi.
Si on veut que aⁿ-1 soit premier il faut donc que a=2.