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derivée n-ième de 1/x

  1. switch28

    Date d'inscription
    octobre 2010
    Messages
    33

    derivée n-ième de 1/x

    salut

    je suis tombé sur un exo ds mes annales où l'on me demande la dérivée n-ième de 1/x. Jusque là pas de soucis.
    Mais en regardant la correction (apres avoir fait l'exo), j'y ai vu quelque chose de bizarre. Dites moi comment vous auriez pu résoudre ce petit probleme, juste pour voir si on a eu le meme raisonnement. Ensuite je vous devoilerai ce que j'ai fait et le corrigé des annales.
    merci

    -----

     


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  2. achraf_djy

    Date d'inscription
    août 2010
    Messages
    86

    Re : derivée n-ième de 1/x

    Bonjour, dit moi d'abord le résultat que toi tu a trouvé, sinon tu peux utiliser la récurrence ou bien de le voir directement, bien sur qu'il y a la formule de Leibnez mais c'est pas dans votre programme je pense.
    La vie est une fonction qui tend vers 0
     

  3. danyvio

    Date d'inscription
    octobre 2006
    Localisation
    Lyon
    Âge
    75
    Messages
    3 243

    Re : derivée n-ième de 1/x

    Vous avez dit : "bizarre ?" comme c'est étrange !
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
     

  4. switch28

    Date d'inscription
    octobre 2010
    Messages
    33

    Re : derivée n-ième de 1/x

    salut Achraf

    j'ai calculé d'abord la dérivée 1ere puis la 2nde et la dérivée 3e :
    g'(x)=-1/x²
    g"(x)=2/x^3
    g"'(x)=-6/x^5

    du coup j'ai remarqué que pour aller de g'(x) à g"(x) puis vers g"'(x), le numérateur s'incremente de 1, et le dénominateur x s'incremente de 1 dans son exposant.
    On a donc : -1/x² * -2/x * -3/x² * .......* -n/x^(n-1) = ((-1)^n * n!)/x^(?)

    c'est le point d'interrogation où je veux être sûr. Y a un produit : x*x²*x^3*....*x^(n-1)=........

    Et ce que je voudrai comprendre, c'est pourquoi lorsqu'on trouve le resultat de la dérivée n-ième, on doit faire une démonstration par récurrence pour prouver qu'elle existe?

    merci
     

  5. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
    Âge
    57
    Messages
    23 581

    Re : derivée n-ième de 1/x

    Citation Envoyé par switch28 Voir le message
    salut Achraf

    j'ai calculé d'abord la dérivée 1ere puis la 2nde et la dérivée 3e :
    g'(x)=-1/x²
    g"(x)=2/x^3
    g"'(x)=-6/x^5
    du coup j'ai remarqué que pour aller de g'(x) à g"(x) puis vers g"'(x), le numérateur s'incremente de 1, et le dénominateur x s'incremente de 1 dans son exposant.
    On a donc : -1/x² * -2/x * -3/x² * .......* -n/x^(n-1) = ((-1)^n * n!)/x^(?)

    c'est le point d'interrogation où je veux être sûr. Y a un produit : x*x²*x^3*....*x^(n-1)=........
    Et ce que je voudrai comprendre, c'est pourquoi lorsqu'on trouve le resultat de la dérivée n-ième, on doit faire une démonstration par récurrence pour prouver qu'elle existe?

    merci
    qcq erreurs de frappes voire erreurs tout court.

    g'''(x)=-6/x^4

    le numérateur ne s'incrémente pas de 1 : -1;2;-6;..

    x*x²*x^3*x^4=x^(1+2+3+4) mais aucun rapport avec l'exercice.

    enfin pourquoi une demo par recurrence.?
    tu penses avoir trouvé la dérivée nième ce qu'on appelle une conjecture, pas une démonstration.
    ( d'ailleurs, je pense que ta conjecture n'est pas bonne )
    n'as tu pas remarqué par exemple que le signe change à chaque fois ?
    n'est ce pas plutôt :
    ((-1)^n)*n!/(x^(n+1))
    Dernière modification par ansset ; 08/12/2011 à 13h44.
     


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  6. achraf_djy

    Date d'inscription
    août 2010
    Messages
    86

    Re : derivée n-ième de 1/x

    Salut,
    ce que Monsieur ansset a dit est juste.
    @ ansset: bien sur qu'il ne peut que voir ce que ca donne et par suite donner une formule générale et la démontrer après par récurrence, et bien sur vous avez donnez la bonne formule.
    @ switch28: apres cet exo je te propose de faire la mm chose pour la fonction: 1/(5*x+8).
    La vie est une fonction qui tend vers 0
     

  7. switch28

    Date d'inscription
    octobre 2010
    Messages
    33

    Re : derivée n-ième de 1/x

    salut

    oui, j'ai une petite erreur de calcul au niveau de ma dérivée 3ième. Du coup j'ai tout chamboulé l'exo!! au lieu de faire la dérivée de x^3=3x², j'ai mis 3x!!!! c'est bon j'ai rectifié.

    On ne parle pas du meme quotient et du meme numerateur. En fait je faisais allusion au quotient multiplicateur qui permet de passer de g'(x) vers g''(x), etc...
    ce numerateur s'incremente de 1. Et au dénominateur, bah j'ai revu mon calcul. On multiplie que par x!!!

    ce qui fait :
    -1/x² * -2/x * -3/x * .......* -n/x = ((-1)^n * n!)/x^n * 1/x= ((-1)^n * n!)/x^n+1

    Apres rectification de mon erreur de départ, je trouve ça.

    Pour la recurrence, en fait c'est en regardant sur la correction des annales (interros des lycees) que j'y ai vu la démo par récurrence, et j'ai pas compris pourquoi.
    Dernière modification par switch28 ; 08/12/2011 à 15h03.
     

  8. switch28

    Date d'inscription
    octobre 2010
    Messages
    33

    Re : derivée n-ième de 1/x

    Citation Envoyé par achraf_djy Voir le message
    @ switch28: apres cet exo je te propose de faire la mm chose pour la fonction: 1/(5*x+8).
    ok je vais voir ça ce soir!!!!
     

  9. S321

    Date d'inscription
    septembre 2009
    Messages
    1 319

    Re : derivée n-ième de 1/x

    Citation Envoyé par switch28 Voir le message
    Pour la recurrence, en fait c'est en regardant sur la correction des annales (interros des lycees) que j'y ai vu la démo par récurrence, et j'ai pas compris pourquoi.
    Sans faire de récurrence vous n'avez strictement rien démontré. Vous nous donnez la formule parce que ça "semble" être vraie. Comment voulez vous démontrer qu'elle est effectivement vraie ?
    En particulier comment pouvez vous être certains que dans le cas n=10000 la formule est toujours valable (vous n'avez que calculer les 3 premières dérivées) ? Vous allez faire les 10000 dérivées successives ?
    Wir müssen wissen, wir werden wissen.
     

  10. achraf_djy

    Date d'inscription
    août 2010
    Messages
    86

    Re : derivée n-ième de 1/x

    @ S321: c'est j'ai lui dit, ce que lui a fait c'est juste une conjoncture, qui peux être démontrer facilement par récurrence.
    La vie est une fonction qui tend vers 0
     

  11. switch28

    Date d'inscription
    octobre 2010
    Messages
    33

    Re : derivée n-ième de 1/x

    Citation Envoyé par S321 Voir le message
    Sans faire de récurrence vous n'avez strictement rien démontré. Vous nous donnez la formule parce que ça "semble" être vraie. Comment voulez vous démontrer qu'elle est effectivement vraie ?
    En particulier comment pouvez vous être certains que dans le cas n=10000 la formule est toujours valable (vous n'avez que calculer les 3 premières dérivées) ? Vous allez faire les 10000 dérivées successives ?
    oui c'est vrai, dans l'absolu la démo par recurrence est obligatoire. Quand j'ai vu l'exo et qu'on me demandait de calculer la dérivée n-ieme sans preciser de justifier la réponse ni de demontrer la conjecture generalisée par recurrence, j'ai préféré ne pas le faire, et à bien réflechir c'est effectivement une erreur de ma part. J'ai corrigé de suite.
    merci
     

  12. switch28

    Date d'inscription
    octobre 2010
    Messages
    33

    Re : derivée n-ième de 1/x

    Citation Envoyé par achraf_djy Voir le message
    @ switch28: apres cet exo je te propose de faire la mm chose pour la fonction: 1/(5*x+8).
    alors Achraf, voici ce que j'ai commencé à faire. Dis moi si j'ai buté quelque part, apres je continue la suite :

    (-1)^n * 5 (n*(n+1)*(n+2)*....*(n+n))/(5x+8)^2n

    c'est bien ça?
     

  13. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    Fresnes
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    57
    Messages
    23 581

    Re : derivée n-ième de 1/x

    je ne trouve pas ça, désolé.
    recommence doucement f', f", f"' pour essayer d'y voir qcq chose.
    Dernière modification par ansset ; 08/12/2011 à 20h13.
     

  14. switch28

    Date d'inscription
    octobre 2010
    Messages
    33

    Re : derivée n-ième de 1/x

    ok je revois mon calcul.
     

  15. switch28

    Date d'inscription
    octobre 2010
    Messages
    33

    Re : derivée n-ième de 1/x

    alors pour le calcul general en considerant (5x+8)^1 (c'est pour utiliser la meme formule que les deriviées suivantes), on a
    f'(x)=-5n/(5x+8)^(n+1)
    f''x)=-5n * -5(n+1)/(5x+8)^(n+2)
    f'''(x)=-5n * -5(n+1) * -5(n+2)/(5x+8)^(n+3)

    je suis parti de là en fait pour pouvoir généraliser à n+n.

    Je rectifie juste la fin en disant qu'on a dans le denominateur (5x+8)^(2n+1) pour (n+n) au numerateur.
     


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