Exo TS : Nombres complexes dans le plan

loulouki999 · 18/03/2012 - 14h13

Bonjour à tous !

Dans un DM que je dois faire, on nous propose de déterminer deux affixes, l'une par homothétie et l'autre par rotation, puis de placer leurs points dans le plan complexe :

Je trouve $A(2\sqrt{2} + i(1- \sqrt{2})) et B(2\sqrt{2}+ i(2-2\sqrt{2}))$ ...
Comment faire pour les placer ? S'aider de l'argument ? (Si oui, pourriez-vous m'expliquer ?)

Je vous remercie d'avance,

Bonne journée !

zyket · 18/03/2012 - 14h31

Bonjour,

Il me semble qu'en passant par l'écriture exponentielle des nombres complexes l'écriture des rotations est bien plus simple.

Comment écrit-on, en utilisant l'écriture exponentielle des nombres complexes, la relation entre z' et z, z' image de z par la rotation de centre W d'affixe w et d'angle thêta ?

Comment écrit-on la relation entre z' et z, z' image de z par l'homothétie de centre W d'affixe w et de rapport k ?

loulouki999 · 18/03/2012 - 14h51

Alors... pour mon homotéthie, sachant qu'on nous donne un rapport de $\sqrt{2}$ et un centre C(i) et comme "antécédent" C'(2)
J'ai trouvé : $Z_A = \sqrt{2} ( Z_C' - Z_C ) + Z_C$
Soit $Z_A = \sqrt{2} (2-i) + i = 2\sqrt{2} + i - i\sqrt{2}$

Pour la rotation, j'ai $\theta = \frac {\pi}{4}$ , un centre C(i) et l'antécédent : A ( $2\sqrt{2} + i - i\sqrt{2}$ )
$Z_B = e^{i\theta}(Z_A - i) +i$
Soit $Z_B =e^{i\frac {\pi}{4}}(2\sqrt{2} + i - i\sqrt{2} -i) +i = cos(\frac{\pi}{4}) + isin(\frac{\pi}{4}) (2\sqrt{2} + i\sqrt{2})$ ... Bon, déjà, je trouve autre chose, j'ai dû allée trop vite... $Z_B = \frac{5\sqrt{2}}{2} + i(1 + \frac{3\sqrt{2}}{2})$ Sauf que là encore, un truc cloche... Auriez-vous une piste ? Je me suis trompée quelque part ?

zyket · 18/03/2012 - 15h30

J'ai pas tout suivi ...

Quel point est l'image de qui ou quel point est l'antécédent de qui par l'homothétie ?

Idem pour la rotation ?

loulouki999 · 18/03/2012 - 15h37

Ah désolée pour le manque de clarté :
1. Déterminer l'affixe du point A, image du point C'(2) par l'homothétie de centre C(i) et de rapport $\sqrt{2}$

2. Déterminer l'affixe du point B, image du point A (...) par la rotation de centre C(i) et d'angle $\frac{\pi}{4}$

Voila... En espérant avoir été plus claire...

zyket · 18/03/2012 - 15h48

Je trouve le même $Z_A$

mais pas le même $Z_B$ bien que partant de la même relation que toi

loulouki999 · 18/03/2012 - 15h54

Oh !

D'accord.... J'ai trouvé au final : $Z_B$ = 3i - 1
C'est juste ?

Par contre, pour le résultat de $Z_A$ , c'est correct ?

zyket · 18/03/2012 - 16h34

Affixe de A correct

Affixe de B ce n'est pas 3i-1, refais tes calculs

astuce $e^{i \frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}} {2} (1+i)$

loulouki999 · 18/03/2012 - 16h48

Ohh c'est pas vrai !

Bon... Cette fois, je trouve une affixe égale à 3 ! Qui dit mieux ?

Ceci dit, si j'ai juste, je ne sais toujours pas comment placer mon point A... Une suggestion ?

zyket · 18/03/2012 - 17h05

Ce n'est toujours pas ça

Ceci dit je m'étais trompé deux fois avant d'obtenir un résultat cohérent. Pour ne pas trop me tromper j'ai développé le moins possible au début. On a :

$Z_B - Z_C=e^{i \frac{\pi}{4}}(Z_A-Z_c)$

or $e^{i \frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}} {2}(1+i)$ et on a vu que $(Z_A-Z_c)=\sqrt{2}(2-i)$

d'où $Z_B=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i) \sqrt{2} (2-i) + i$

continue

je ne sais toujours pas comment placer mon point A... Une suggestion ?

Justement le but de l'exo est de placer A en connaissant B.

B a une affixe du type a + ib avec a et b entiers naturels, donc B est facile à placer après on sait que B provient de A par une rotation d'angle pi/4 donc connaissant B on peut remonter à A.

loulouki999 · 18/03/2012 - 17h14

Bon, je suis vraiment un cas désespéré pour ce qui est des fautes d'inattention...

Alors, je pars de l'expression :

$Z_B$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (1+i) $\sqrt{2}$ (2-i) + i = (1+i)(2-i)+i
$Z_B$ = 2-i+2i+1+i = 3 + 2i

Verdict ?

Sinon, pour la méthode pour placer le point A, je comprends, merci... Par contre, pour savoir le sens de la rotation, je regarde le signe de l'affixe de B ?

zyket · 18/03/2012 - 19h53

c'est ce que je trouve et qui me parait cohérent avec la construction.

Pour la construction : on sait que A est l'image de C' par une homothétie de centre C. Que peut-on dire des points C, C' et A ?

On sait que B est l'image de A par la rotation de centre C et d'angle pi/4. pi/4 est une mesure positive d'un angle, donc cet angle tourne dans le sens trigonométrique (inverse des aiguilles d'une montre ) pour aller du point A à son image B. Dans quel sens va-t-on tourner pour aller du point B au point A et de combien va-t-on tourner ?

Avec tout cela tu dois être capable de placer A en faisant une construction à la règle et au compas.

Bonne chance