Raissonement par récurrence.

[recordz]

Bonjour, voila je voudrai savoir comment dire que :

0<u(n)<1

Sachant que
u(n+1)=2un/(2+3un)

Voila ce que j'ai fait:

0<u(n)<1
0<3u(n)<3
2<3u(n)+2<5

1>2/(3un +2)>5/2

et la je sais plus quoi faire...... si je multiplie par un j'aurai u(n+1) mais j'aurai un des deux côtés!

merci de m'aider

[Faith]

[EDIT]j'ai rien dit...

[gg0]

Bonjour.

Je suppose que tu as déjà un qui vérifie la condition. Et tu vois que tu as du mal à faire une preuve en manipulant les inégalités. En multipliant par , tu n'auras pas 1 des deux côtés, mais 0 et , ce qui ne te donne pas le résultat.
Mais en fait, tu as . Si tu sais que , l'étude de la fonction te dira où est .

Cordialement.

NB : On peut y arriver, par manipulation des inégalités, mais en écrivant la fonction autrement.

[pallas]

bizarre que 1>5/2 !!
revois les encadrements
si a et b >0 et si a<x<b alors 1/b<1/x<1/a vu que la fonction inverse est strictement decroissante !

[sammy93]

Salut.
On peut écrire :
.
Comme cela,tu peux manipuler tes inégalités.

[Jeanpaul]

Introduis la suite auxiliaire v(n) = 1/u(n) et tu verras des trucs apparaitre.

[PA5CAL]

Bonjour

Tu as fait une erreur d'étourderie. C'est 2/5 et non pas 5/2.


En fait, tu as déjà fait la plus grosse partie de la démonstration.

En arrivant à la conclusion que 1>2/(3u_n +2)>2/5 puis que u_n>u_n+1>(2/5)u_n en multipliant par u_n comme tu le disais, tu peux considérer séparément les deux inégalités :
(1) u_n>u_n+1
(2) u_n+1>(2/5)u_n

L'inégalité (1) et le fait que u_n<1 te permet de conclure à une première inégalité concernant u_n+1.

L'inégalité (2) et le fait que 0<u_n te permet de conclure à la seconde inégalité que tu cherches.