Encadrement de ln(2)

[invite120678c5]

Bonjour à tous,

J'aurai besoin de votre aide sur cet exercice :

On considère la suite (Un) définie pour tout entier naturel n non nul par :
Un=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)

a)Démontrer que (Un) est majorée par 1 ; en déduire que (Un) est une suite convergente vers un réel l.

b)Démontrer que, pour tout réel x > 0,1-1/x<=ln(x)<=x-1.

c)En déduire que, pour tout entier naturel non nul k, 1/(k+1)<=ln[(k+1)/k]<=1/k.

d)En écrivant l'encadrement précédent pour k prenant toute les valeurs de n à 2n-1, et en additionnant membre à membre les inégalités obtenues, démontrer que Un<=ln2<=Un+1/2n.

e)A partir de quel entier n obtient-on un encadrement de ln(2) d'amplitude 10-2 ?

f)Déterminer la limite l de la suite (Un).

Merci de votre aide.
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[homeya]

Bonjour,

Pour la question a), on peut majorer chacun des termes de la somme par 1/n (en comptant le nombre de termes de Un). Puis il faudra encore montrer que la suite est croissante ...

Cordialement.

[Seirios]

Bonjour,

Merci de lire http://forums.futura-sciences.com/ma...ces-forum.html ; la moindre des choses seraient de préciser ce qui te bloque et ce que tu as déjà fait.

[invite120678c5]

Je bloques à partir de question b.

[A voir en vidéo sur Futura]

[homeya]

OK. Pour démontrer par exemple que 1-1/x<=ln(x) pour x > 0, on peut se définir la fonction f(x) = 1-1/x-ln(x), l’étudier (dérivée, tableau de variations) et montrer ainsi qu'elle est toujours négative pour x > 0. Et idem pour ln(x)<=x-1

[invite120678c5]

Désolé de faire remonter ce topic mais je bloques vraiment sur cet exercice.

Pour la question a) j'ai tenté une démonstration par récurrence en disant que U1=1/4<1 mais je ne vois pas comment faire l'hérédité.

Pour la question question c), faut-il étudier une fonction comme pour la question b) ?

Pour la question d) et e), je ne vois pas du tout comment faire.

Pour la question f) faut-il utiliser le théorème du gendarme ?

Encore merci de votre aide.

[gg0]

Finalement,

tu n'as pas fait grand chose !! tu ne donnes pas vraiment l'impression d'avoir regardé de près ta série (les premiers termes, par exemple).

Pour la question a, étudie u_n+1-u_n (tu peux regarder un cas particulier, par exemple n=4 avant pour bien voir). A noter : u₁ ne vaut pas 1/4.
La question c te dit ce qu'il faut faire : "En déduire ...". C'est unre question de français. Et il y a une quasi évidence en lisant les ln.

Donc fais déjà ça toi-même ...

Cordialement.

NB : La lecture intelligente de l'énoncé donne souvent d'agréables indications.

[invite120678c5]

Oui, effectivement je me suis trompé pour U1, U1=1/(1+1)+1/2=1, C'est bien ça ?

Pour la question a), il faut étudier Un+1-Un pour montrer que la suite est croissante mais je bloque pour montrer que (Un) est majoré par 1.

[ansset]

relis le mess #2 pour le a).
sachant que 1/(n+p)<1/n si n et p positifs.

[invite120678c5]

C'est bon, j'ai compris pour la question a. Pour la suite, j'ai beau chercher je ne trouve pas.

[ansset]

b)Démontrer que, pour tout réel x > 0,1-1/x<=ln(x)<=x-1.

.

est ce pour x>0 alors 1-1/x<=ln(x) ou autre chose ?

[ansset]

si c'est le cas il n'est pas nécessaire de faire un tableau de variation.

[gg0]

U1=1/(1+1)+1/2=1, C'est bien ça ?

ben non ! Quant on va de 1+1 à 2, il n'y a pas deux termes !!
Et pour une suite croissante majorée par 1, démarrér à 1 c'est particulier, non ?

[invite120678c5]

est ce pour x>0 alors 1-1/x<=ln(x) ou autre chose ?

Oui c'est bien pour ça, comment répondre à la question sans faire de tableau de variation ?

Pour la suite, je bloque toujours.

[ansset]

il faut bien x>0 pour être dans le domaine de definition de ln.
ensuite
ln(x)>=1-1/x est équivalent à
-ln(x) <= 1/x-1 soit
ln(1/x) <= 1/x-1 qcq soit x>0
soit qcq soit X>0 avec X=1/x
je te laisse finir.

(pour la fin du a) relis ce que dit ggO )

[invite120678c5]

Bon, alors U1 vaut 1/2 ? Si ce n'est pas ça merci de m'expliquer pourquoi.

[invite120678c5]

Sinon, j'ai fini la question a, c'est pour la question c et les suivantes que j'ai besoin de votre aide.

[gg0]

Ben ...

la valeur à prendre pour x est évidente. Essaie, pour voir.

[invite120678c5]

Excusez-moi gg0, mais je ne vois pas de quel x vous parlez, il n'y a plus de x à partir de la question c. Parlez-vous de k ? Mais, on se place dans le cas général, donc il n'y a pas de valeur particulière à prendre, si ?

[gg0]

Tu n'as toujours pas lu le début de la question c ??? "En déduire", c'est pas écrit pour faire joli !!!
Tu es vraiment rétif : Il suffit de regarder ce qui vient d'être démontré et de comparer. "il n'y a plus de x à partir de la question c" ?? Bien sûr !! mais il y en avait un juste avant ... Et on a le droit d'utiliser son intelligence.
Je commence à croire que tu ne mérites pas vraiment d'être aidé, tu te contentes d'attendre qu'on t'explique ?

[invite120678c5]

Pour la question c, il faut remplacer x par K/K+1 ? Pour la question d, je pense avoir compris. Mais pour la question e, je ne vois pas comment faire. Pour la question f, faut-il utiliser le théorème du gendarme ?

[gg0]

Pour la question c, il faut remplacer x par K/K+1 ?

Et si tu essayais, au lieu de demander sans arrêt qu'on fasse le travail de réflexion à ta place. C'est assez lamentable !!! Tu sais calculer, fais les calculs, tu verras bien si ça fonctionne ou pas.
De même la question e est bien rédigée et te dit presque tout. A moins que tu ne saches pas ce qu'est un encadrement ... ou son amplitude. Alors, comme pour un collégien je vais te le dire : Si a<u<b, ]a,b[ est un encadrement de u et son amplitude est b-a. mais ça, tu le savais, tu attends seulement qu'on te donne l'ordre de faire ce que tu pourrais faire seul !!!
Idem pour f : En maths, jamais il ne "faut", seulement on applique les règles. Si la règle fonctionne, on l'utilise. Si elle ne donne rien, on n'a pas fait la preuve, mais on sait qu'il faut chercher autre chose...

J'espère que dans la vie courante tu te comporte autrement, que tu n'attends pas qu'on te dise de manger pour prendre ta fourchette. Ici, tu aurais quasiment fini ton devoir si tu avais eu un poil d'initiative personnelle.