Polynôme, équation trigonométrique

[invite77a850d8]

Bonjour, j'ai quelques problèmes pour résoudre cet exercice de maths :

On considère le polynôme P défini sur R par :
P(x) = 2x^3 - x^2 - 5x - 2

1. Déterminer les réels a b et c tels que
P(x) = (x + 1 ) ( ax^2 + bx + c)

2. Résoudre dans l'intervalle ]- pi ; pi] l'équation :
2sin^3 * x - sin^2 * x - 5sinx - 2 = 0

Pour la 1 j'ai penser a développer P(x) et a comparer ce qui me donne
P(x) = ax^3 + x^2 * (b+a) + x*(c+b) + c (J'ai factorisé)

Donc voilà si vous pouviez m'aider ça serait vraiment gentil !
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[gg0]

Bonjour.

Tu as dû voir un théorème sur les polynômes, et en application de ce théorème la méthode d'identification. Utilise-la.

Bon travail !

[pallas]

Cela s'appelle une identification
tu dois maintenant dire que l'egalité" est vrai pour n'importe quel x réel donc
les termes en : x² sont egaux entre eux
x sont égaux
constants sont egaux
et ainsi tu trouves a,b,c

[invite77a850d8]

Bonjour.

Tu as dû voir un théorème sur les polynômes, et en application de ce théorème la méthode d'identification. Utilise-la.

Bon travail !

J'ai beau chercher dans mon cours, je n'ai pas trouver de théorème sur des égalités ou qq chose qui pourrait me servir !
Je n'ai que des leçons sur le signe, variations ..

Et Pallas je ne comprends pas vraiment ..

[A voir en vidéo sur Futura]

[Teddy-mension]

Oui, c'était pareil pour nous, on avait pas de cours direct sur cette méthode, mais c'est très facile à comprendre.. En fait, elle dit que deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients de même degré sont égaux.
En gros, si tu as l'équation suivante:
ax²+bx+c = a'x²+b'x+c'
Tu en déduis que a=a' b=b' et c=c'
Je t'ai donné un exemple avec un polynôme du second degré, mais sache que ça marche avec n'importe quel polynôme.

[pallas]

je te donne un exemple qui n'est pas le tien
si ax²+(5b+a)x+c-a = 3x²+2x-1
alors a=3( termes en x²) et 5b+a=2 (termes en x)et c-a=-1(termes constants)

[invite77a850d8]

Ooooh je crois avoir saisi !

Pour mon cas :

a = 2
b+a = -1
c + b = -5
c = -2

D'où a = 2 b = -3 c = -2 ( b + 2 = -1 -> b = -1 -2 = -3 / c + b = -5 -> c -3 = -5 -> c = -5 + 3 -> c = 2)

Est-ce juste ?

Si oui, pouvez vous maintenant m'aider pour la seconde question ?

[Teddy-mension]

D'où a = 2 b = -3 c = -2

Ça j'ai pas compris, sinon le reste ça a l'air bon ! (Essaye d'écrire en colonnes pour que ce soit plus compréhensible.. ^^)

Pour la seconde question, ne reconnais-tu pas une ressemblance flagrante avec ton polynôme ?

[invite77a850d8]

Pardon je le ferais dorénavant !

Hé bien
a = 2 car 2x^3
b + a = -1 avec les x²
c +b = -5 avec les x
c = -2 constante
(dans la première expression : P(x) = 2x^3 - x² - 5x -2)


Si je vois bien la ressemblance flagrante justement

faut-il que je pose : sin x = X ?

[Teddy-mension]

Ah mais d'accord !
Tel que tu l'écrivais, on pouvait penser que c'était:
a = 2*b = -3*c = -2

Faut-il que je pose : sin x = X ?

Oui ! ^^

[invite77a850d8]

Oui mon écriture laissait s'y méprendre !

Donc
On pose sin x = X

On a donc ( nommons l'équation R)

R = 2X^3 -X² -5X -2 = 0

J'aurais bien fais le discriminant si R était de la forme ax² + bx + c

Mais ce n'est pas le cas ^^ que faire ? "bidouiller" 2X^3 -X² -5X -2 ?

[Teddy-mension]

Mais ce n'est pas le cas ^^ que faire ? "bidouiller" 2X^3 -X² -5X -2 ?

Coucou la première question !

[invite77a850d8]

Effectivement, bonjour P(x) du début !

J'ai donc P(x) = R avec X

Donc ... ? Je ne sais quelle démarche suivre

[Teddy-mension]

Pour résoudre ton équation, tu as posé X = sin x, ce qui t'a permis de l'écrire sous la forme 2X^3 -X² -5X -2 comme tu l'as dit précédemment..
Or, au début, on te donnait P(x) = 2x^3 - x² - 5x - 2
Et avec la première question, tu as finalement trouvé P(x) = (x + 1 ) ( 2x² -3x -2)

Tu vois vraiment rien.. ?

[invite77a850d8]

Malheureusement non ...

Il y a un lien c'est sur mais je n'arrive pas à le mettre sur papier

[Teddy-mension]

Eh bien simplement 2X^3 -X² -5X -2 = (X + 1) (2X² -3X -2)..
Ça saute pas aux yeux ? ^^'

[invite77a850d8]

Oh illumination !
Enfin je crois :

Mon R je peux le factoriser.

étant donné qu'il est de la même forme que P(x), qui donne au final (x+1) ( 2x² - 3x - 2)

R donne donc : (X + 1) (2X² -3X -2)

Je ne sais pas si je peux l'écrire tel quel sur ma copie, sans expliquer ..

[Teddy-mension]

Tant mieux si tu as trouvé tout seul, car visiblement tu avais pas lu mon message précédent. x)
Ben tu as R=2X^3 -X² -5X -2
Or, on a P(x)=2x^3 -x² -5x -2 = (x + 1)(2x² -3x -2) (d'après la question 1)
Donc R=(X + 1)(2X² -3X -2)
Là elle est la justification, pas besoin de plus..
Mais tu peux simplement mettre l'égalité en disant "d'après la question 1" à la fin.

[invite77a850d8]

Oui tout simplement

Donc à partir de là j'ai fais :

2X² - 3X -2 est de la forme ax² + bx +c

Avec a = 2
b = -3
c = -2

D'où = b² - 4ac = 25

> 0 donc deux solutions :

x1 = 2
x2 = - 1/2

Ensuite je bloque de nouveau

[Teddy-mension]

R: (X + 1)(2X² -3X -2)=0 (Je l'ai mal écrite tout à l'heure, désolé)

C'est bien d'avoir fait delta, encore faut-il le justifier (Un produit est nul si [...] On a donc [...]).
Et n'oublie pas le (X+1) !

[invite77a850d8]

Oui oui je l'ai noté

Je trouve donc :

X + 1 = 0
X = -1

Etant donné que X = sin x

On a : -1 = sin -1 donc -pi /2

2 = sin 2 donc impossible

-1/2 = sin -1/2 donc -pi/6

Ensuite j'écris que les solutions de l'équation dans ] -pi ; pi] sont -pi /2 et -pi/6 ?

[Teddy-mension]

-1 = sin -1 donc -pi /2
2 = sin 2 donc impossible
-1/2 = sin -1/2 donc -pi/6

Attention, n'écris pas -1 = sin -1, mais bien -1=sin x..
Sinon, c'est juste, mais tu as oublié une solution.

[invite77a850d8]

Merci pour l'écriture !


Oups effectivement !!
Pour -1/2 j'ai aussi la solution -5pi / 6 ?

[Teddy-mension]

Exactement.

[invite77a850d8]

Merci infinimeeeeeent d'avoir pris de ton temps pour m'aider !!!!
Merci beaucoup vraiment )

[Teddy-mension]

Pas de soucis, ça m'a fait plaisir !