Démonstration d'une limite de suite - Page 2
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Démonstration d'une limite de suite



  1. #31
    PlaneteF

    Re : Démonstration d'une limite de suite


    ------

    Citation Envoyé par The_Anonymous Voir le message
    (Si je traduis bien, on commence avec qui est positive...)

    Par la formule de la suite,



    Et si j'ai bien compris, on devrait arriver à une inégalité du genre :

    ...

    Mais je ne vois pas trop comment... On pourrait factoriser ainsi :

    , mais je ne vois pas à quoi cela amène...
    Non, tu n'y es pas.

    1) Calcule explicitement en faisant apparaître le terme ;

    2) Utilise le fait que la suite est croissante et donc le fait que tous les termes sont , pour majorer la suite ;

    3) Petite récurrence ;

    4) Conclusion.

    5) Dodo

    -----
    Dernière modification par PlaneteF ; 18/03/2013 à 23h15.

  2. #32
    The_Anonymous

    Question Re : Démonstration d'une limite de suite

    Aïe... J'ai de la peine à voir où vous voulez en venir...

    J'ai pensé de la sorte... :

    .

    Là, j'ai pensé à une exoression conjuguée, mais je ne suis tellement pas sûr...

    ...

    Mais je pense que je m'égare, je ne vois pas la majoration de la suite...

    Cela vous parait peut-être évident, mais si vous pouviez me détailler où je commets l'erreur de méthode...

    Mille merci! =)

  3. #33
    The_Anonymous

    Re : Démonstration d'une limite de suite

    Je réfléchis encore comment procéder selon votre manière (ce n'est pas l'envie d'arriver au 5) qui me manque, détrompez-vous!), mais je n'y arrive pas...

    Sinon, au niveau de la méthode elle-même, pour essayer de comprendre (désolé de ne pas vouloir suivre vos instructions bêtement ^^), est-ce que le fait de démontrer que converge vers 0, c'est-à-dire vers 2 (si j'ai bien compris ce que vous voulez faire...) suffit à démontrer que 2 est la limite, et dans ce cas-là, pas besoin de montrer ?

    Merci de tes éclaircissements!

  4. #34
    S321

    Re : Démonstration d'une limite de suite

    Pour montrer que (xn) est majorée par 2 vous pouvez le faire très simplement par récurrence. En supposant que xn<2 c'est immédiat que xn+1<2 aussi.
    Wir müssen wissen, wir werden wissen.

  5. #35
    PlaneteF

    Re : Démonstration d'une limite de suite

    Citation Envoyé par The_Anonymous Voir le message
    .

    Là, j'ai pensé à une exoression conjuguée, mais je ne suis tellement pas sûr...

    ...

    Mais je pense que je m'égare, je ne vois pas la majoration de la suite...
    Tu t'embourbes complètement, ... déjà ce sont les termes de la suite qui sont supérieurs ou égales à et non pas ceux de la suite . Ensuite tu ne vois le bon fil conducteur.

    Concrètement, qu'est-ce que l'on cherche à faire : appliquer le théorème des gendarmes ou une variante qui consiste à dire que si l'on trouve une suite avec la suite qui converge vers alors la suite converge vers et donc la suite converge vers .

    Donc allons-y :

    Puisque est majorée par , on a :

    ... utilisation de la quantité conjuguée pour faire apparaître le terme , puis majoration de la quantité obtenue en laissant ce terme, et en utilisant le fait que


    N.B. : C'est très proche de ce que tu as présenté dans ton message#25
    Dernière modification par PlaneteF ; 19/03/2013 à 00h10.

  6. #36
    PlaneteF

    Re : Démonstration d'une limite de suite

    Citation Envoyé par S321 Voir le message
    Pour montrer que (xn) est majorée par 2 vous pouvez le faire très simplement par récurrence. En supposant que xn<2 c'est immédiat que xn+1<2 aussi.
    Salut S321, ... en fait The_Anonymous l'a déjà démontré dans son messsage#21, ... mais c'est vrai que le fil commence à un peu à s'étirer !
    Dernière modification par PlaneteF ; 19/03/2013 à 00h17.

  7. #37
    The_Anonymous

    Smile Re : Démonstration d'une limite de suite

    Oh.. Vous êtes adorables, merci de prendre le temps...

    Ceci dit, passons aux choses sérieuses!

    Donc...

    Dites-moi si je me trompe...

    .

    Bon, chose faite, j'ai du mal à comprendre comment vous majorer, si on sait que , remplacez par reviendrait à minorer, non?

    -Je suis nul, d'accord, je vois jamais où vous voulez en arriver... x)

    À moins que... Je me rappelle de ...

    Si on remplace au dénominateur, alors on majore, right?

    (Je suis tout excité x) )

    On aurait :

    .

    Et là, je fais trois tours autour de ma maison... J'ai ce 4, oui, je l'ai!

    Huhuhu ... Merci!!!

    Bon, c'est pas encore fini, reprenons...

    Donc, pour résumer, on a :

    .

    En essayant, comme dans #25 de continuer, on itère et on trouve :

    .

    (Je suis juste pas sûr si c'est 2 puissance n ou si c'est 2 puissance n moins un... Vous avez la réponse?)

    En recopiant comme dans mon exemple, j'arrive à :

    Comme 2n devient arbitrairement grand lorsque n croît, cette différence devient arbitrairement petite. En d'autres termes, , tel que .

    Alors , on a

    .

    Ceci démontre que la limite est 2.

    J'ai envie de dire... WE DID IT!, je ne saurais comment vous remercier...

    Bon, je suis presque sûr que je suis juste, je vous laisse confirmer....

    Comme j'adore gâché l'ambiance, maintenant qu'on sait et qu'on a prouvé cette fichue limite (au fait je dis "on" mais je devrais presque dire "vous" ^^), il y a la deuxième partie de l'exercice, qui, je vous rassure, n'est pas plus facile à mon goût...

    En citation de #1 :

    Citation Envoyé par The_Anonymous Voir le message
    Cet exercice a une suite, je la mets déjà :

    "On définit aussi les fonctions et ".

    - Calcule .

    - Calcule .

    - Peut-on prolonger f et g par continuité? Admettent-ils une asymptote verticale en 2, à droite ou à gauche?

    J'ai déjà déduit pour les deux premiers points qu'on cherche et .

    Mais après évidemment, si on essaie f(2) et g(2), on tombe respectivement sur et .

    Et je ne sais pas comment procéder...

    Pour le troisième point, première partie, on peut prolonger f par continuité par la fonction h :

    .

    (Parce que ).

    Par contre on ne peut pas prolonger par continuité car .

    (J'utilise les résultats à prouver dans les deux premiers points.)

    Pour la deuxième partie :

    : NON : comme vu précédemment, .

    : OUI : comme et , admet une asymptote verticale en .
    Voilà... Je sais que je vous demande beaucoup...

    Je vous remercie encore une fois chaleureusement pour votre soutien!

    Cordialement,

    Brazeor

    P.S. : pas mal le pavé hein ^^
    Dernière modification par The_Anonymous ; 19/03/2013 à 00h51. Motif: :-)

  8. #38
    The_Anonymous

    Re : Démonstration d'une limite de suite

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    Concrètement, qu'est-ce que l'on cherche à faire : appliquer le théorème des gendarmes ou une variante qui consiste à dire que si l'on trouve une suite avec la suite qui converge vers alors la suite converge vers et donc la suite converge vers .
    Euh... Je remarque que je n'ai pas utiliser le Théorème...

    C'est grave, docteur?

    Plus sérieusement, ma méthode est juste et/ou comment fait-on avec ce Théroème-ci?

  9. #39
    PlaneteF

    Re : Démonstration d'une limite de suite

    Citation Envoyé par The_Anonymous Voir le message
    .
    Non ce n'est pas juste car , ...

    De toute manière on s'en tape de la valeur exacte de cette quantité, la seule chose qu'il est important de remarquer ici, c'est que :

    et ainsi

    Et du coup on la tient la suite ! ... qui converge bien vers !


    N.B. : Tout ce que tu as écris par la suite est de trop, le résultat est démontré là !
    Dernière modification par PlaneteF ; 19/03/2013 à 01h25.

  10. #40
    The_Anonymous

    Re : Démonstration d'une limite de suite

    Ah d'accord merci encore!

    Désolé de ne pas avoir répondu avant, j'étais trop fatigué...

    J'ai pu compléter ma première partie, je vous en remercie

    Maintenant, si vous le voulez bien, je voudrais résoudre la deuxième partie...

    (Cf #1 ou citation de #37)

    Je ne sais pas comment calculer les deux limites, je pense qu'il doit y avoir une subtilité avec cos(pi*x), on voit qu'avec x entier, cela devient 1, mais je pense que si on l'approche par des valeurs autres (lesquelles?), on peut arriver à la solution...

    Pourriez-vous m'aider, s'il vous plaît?

    (Pensez-vous bon que je recrée un nouveau topic ou pas?)

    Cordialement

  11. #41
    S321

    Re : Démonstration d'une limite de suite

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    Salut S321, ... en fait The_Anonymous l'a déjà démontré dans son messsage#21, ... mais c'est vrai que le fil commence à un peu à s'étirer !
    Euh oui, j'avais pas vu que le topic avait plusieurs pages et j'ai répondu à la fin de la première page. A ma décharge il était déjà assez tard ^^.
    Wir müssen wissen, wir werden wissen.

  12. #42
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Démonstration d'une limite de suite

    Bonjour.

    Je ne vois pas où est la difficulté pour calculer les limites : f est continue une fois prolongée en 2. Donc ... Où bien la fonction est continue. Mais ça donne plus de travail.
    Pour g, comme elle tend vers l'infini, c'est aussi évident (ou tu mets en place une preuve à partir de la définition). En utilisant la limite à gauche de g en 2, puisque ta suite tend vers 2 en croissant.
    Il est bien évident qu'on ne va pas calculer f(2) et g(2) puisque ces notations n'ont pas de sens...

    Cordialement.

    NB " avec cos(pi*x), on voit qu'avec x entier pair, cela devient 1". Pour x=1 on obtient -1.

  13. #43
    invitebac64493

    Re : Démonstration d'une limite de suite

    Bonjour ,
    J'ai une solution peut-être mauvaise mais plus simple d'abord une récurrence ou je fais Xn+1>Xn j'arrive sur Xn+2>Xn+1 sans problèmes puis je fais une récurrence Xn<2 encore une fois sans problème je fais le théoreme de convergence monotone elle est donc convergente après je fais limxn+1(quand n tend vers +oo) = l puis je rédige etc (sa c'est pas à moi de le faire) l=racine(2l) je tombe sur un psd de solutions 2 et 0 je conclue que c'est 2 (car Xn croissante et X0=racine(2) ) et voila j'ai finis.
    Sa me parait juste j'éspère avoir été compris.

  14. #44
    The_Anonymous

    Question Re : Démonstration d'une limite de suite

    @gg0 : #NotaBene : tout à fait, très pertinent!

    Mais en fait, ce pour quoi je vous demande de l'aide, c'est comment calculer ces limites, comment arrive-t-on à ce résultat.

    Par quelles étapes peut-on calculer et ?

    Je comprends bien que f est continue une fois prolongée, ça, pas de problème, mais comment fait-on le calcul?

    Si vous pouviez me donner des indications... Merci beaucoup! =)

    @jeandesjean : je vous ai compris, pas de soucis, je pense avoir compris cette partie!

    Cordialement
    Dernière modification par The_Anonymous ; 19/03/2013 à 20h43.

  15. #45
    PlaneteF

    Re : Démonstration d'une limite de suite

    Citation Envoyé par jeandesjean Voir le message
    Bonjour ,
    J'ai une solution peut-être mauvaise mais plus simple d'abord une récurrence ou je fais Xn+1>Xn j'arrive sur Xn+2>Xn+1 sans problèmes puis je fais une récurrence Xn<2 encore une fois sans problème je fais le théoreme de convergence monotone elle est donc convergente après je fais limxn+1(quand n tend vers +oo) = l puis je rédige etc (sa c'est pas à moi de le faire) l=racine(2l) je tombe sur un psd de solutions 2 et 0 je conclue que c'est 2 (car Xn croissante et X0=racine(2) ) et voila j'ai finis.
    Sa me parait juste j'éspère avoir été compris.
    Bonsoir,

    T'arrives un peu après la bataille --> Méthode discutée du message#4 au message #26, soit au total 23 messages !!!

    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 19/03/2013 à 22h07.

  16. #46
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Démonstration d'une limite de suite

    Ben ...

    Si et alors
    Preuve immédiate (si tu n'as pas déjà le théorème) en combinant la définition de la limite de la suite avec la définition de la continuité : pour n suffisamment, grand, xn est suffisamment proche de 2 pour que f(xn) soit aussi proche de 0 que l'on veut.
    Bien entendu, j'ai repris ton affirmation que je n'ai pas vérifiée. Mais c'est toi qui l'as dit.

    Cordialement.

  17. #47
    The_Anonymous

    Re : Démonstration d'une limite de suite

    Oui, en fait, ce que je cherche c'est calculer !

    J'ai miraculeusement et mystérieusement obtenu ce résultat (bon ok, W|A j'avoue... x) ), mais je ne sais pas comment y arriver, et je vous demande s'il y a une façon quelconque par des opérations écrites (enfin une démarche concrète quoi, pas un résultat obtenu par un calculateur) de calculer cette limite.

    1) Est-il possible de calculer cette (ou plutôt ces (avec celle pour g(x) )) limites ?

    2) Comment fait-on?

    Cordialement

  18. #48
    PlaneteF

    Re : Démonstration d'une limite de suite

    Citation Envoyé par The_Anonymous Voir le message
    Oui, en fait, ce que je cherche c'est calculer !

    J'ai miraculeusement et mystérieusement obtenu ce résultat (bon ok, W|A j'avoue... x) ), mais je ne sais pas comment y arriver, et je vous demande s'il y a une façon quelconque par des opérations écrites (enfin une démarche concrète quoi, pas un résultat obtenu par un calculateur) de calculer cette limite.

    1) Est-il possible de calculer cette (ou plutôt ces (avec celle pour g(x) )) limites ?

    2) Comment fait-on?
    Tu peux écrire :



    En passant à la limite ( tend vers ), tu as la définition d'une dérivée en un point, que je te laisse déterminer.
    Dernière modification par PlaneteF ; 20/03/2013 à 00h01.

  19. #49
    The_Anonymous

    Re : Démonstration d'une limite de suite

    Yay.... Les dérivées-intégrales-primitives, c'est l'année prochaine...

    Je n'ai pas encore vu cette notion, y'a-t-il un autre moyen?

  20. #50
    PlaneteF

    Re : Démonstration d'une limite de suite

    Supprimé ...
    Dernière modification par PlaneteF ; 20/03/2013 à 00h15.

  21. #51
    The_Anonymous

    Question Re : Démonstration d'une limite de suite

    Au fait, je pensais à quelque chose pour g(x)...

    On pourrait écrire :

    .

    Bon, il faut d'abord trouver la limite pour f(x)...

    On peut donc ensuite faire vite fait un tableau de signe pour conclure que par la gauche on a moins l'infini et à droite plus l'infini... Mais il faut donc d'abord trouver la limite pour f(x)....

    Cordialement

    ÉDIT POUR #50 : Oui, on sait , mais je ne vois pas en quoi cela change les choses... Qu'est-ce que cela apporte?

    Bon, fausse piste apparemment... x)
    Dernière modification par The_Anonymous ; 20/03/2013 à 00h16.

  22. #52
    PlaneteF

    Re : Démonstration d'une limite de suite

    Citation Envoyé par The_Anonymous Voir le message
    .

    Bon, il faut d'abord trouver la limite pour f(x)...
    Euuuhhh, mais pourquoi tout ce bricolage ... Où est le problème pour la limite de ... il n'y a pas de forme indéterminée et tu l'as dit toi même, la limite est de la forme ... donc le résultat est immédiat !


    Citation Envoyé par The_Anonymous Voir le message
    Bon, fausse piste apparemment... x)
    Oui c'était pour une autre limite
    Dernière modification par PlaneteF ; 20/03/2013 à 00h30.

  23. #53
    PlaneteF

    Re : Démonstration d'une limite de suite

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    (...) la limite est de la forme ... donc le résultat est immédiat !
    Ou je précise !
    Dernière modification par PlaneteF ; 20/03/2013 à 00h35.

  24. #54
    The_Anonymous

    Re : Démonstration d'une limite de suite

    Ah d'accord....

    Ouais, cette limite me reste sur les bras, je sais vraiment pas comment la résoudre...

  25. #55
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Démonstration d'une limite de suite

    Bonjour, The_Anonymous.

    Quelques remarques
    * Une limite se calcule; c'est une équation ou un problème qu'on résout.
    * Si tu ne sais pas démontrer que la limite est 0, c'est une très mauvaise idée de l'affirmer.
    * Difficile de te proposer une preuve si tu n'as pas de connaissances sur les limites. Donc dis-nous ce que tu sais, en particulier sur des limites de sin ou cos liés à des x ou x². Genre la limite en 0 de sin(x)/x.
    Cordialement.

    NB : Si tu connais la limite en 0 de sin(x)/x, tu peux passer à (cos(x)-1)/x² en posant x=2t, avec t qui tend vers 0.

  26. #56
    The_Anonymous

    Question Re : Démonstration d'une limite de suite

    *Oui, désolé

    *Ok...

    *Oui je connais sinx/x, x->0 = 1 et un peu toutes les variantes...

    Je n'ai pas compris dans votre NB comment vous passez de (sinx/x) à (cos(x)-1)/x^2... Pouvez-vous me décrire plus précisément comment vous procédez...? Je pensais : (sinx/x) * (sinx/x) = (sin^2(x)/x^2) = (1-cos^2(x)/x^2), je ne sais pas comment vous faites pour arriver à (cos(x)-1)...

    Je cherche en fait un moyen de passer de (cos(pi*x)-1)/(x-2) par un changement de variable ou quelque chose d'autre (-> quoi?) pour arriver sur des limites bien connues trigonométriques par exemple... Si vous voyez ce aue je veux dire, je vous serais très reconnaissant de m'aider

    Cordialement
    Dernière modification par The_Anonymous ; 20/03/2013 à 11h56.

  27. #57
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Démonstration d'une limite de suite

    Bonsoir.

    Pour (cos(pi*x)-1)/(x-2), le changement de variables assez évident t=x-2 te ramène à une limite en 0.

    Ensuite, en posant pi*t = 2u et en passant en sin(u), tu trouveras la limite. Je m'inspire ici de la traditionnelle preuve sur (1-cos(x)/x².

    Cordialement.

  28. #58
    The_Anonymous

    Re : Démonstration d'une limite de suite

    Ah d'accord merci infiniment!

    J'ai pu compléter, je vous remercie encore une fois chaleureusement pour tout votre soutien, et je mets un terme à mes messages sur ce topic (enfin...!)

    On se retrouvera peut-être pour un peu de géométrie vectorielle, héhé...

    Cordialement,

    Brazeor

  29. #59
    PlaneteF

    Re : Démonstration d'une limite de suite

    Autre façon de présenter le calcul avec utilisation du résultat de



    Et au numérateur on utilise la formule :
    Dernière modification par PlaneteF ; 20/03/2013 à 20h06.

  30. #60
    The_Anonymous

    Re : Démonstration d'une limite de suite

    A très intéressant je n'y avais pas pensé, très ingénieux!

    Merci encore pour toutes ces méthodes!

    Cordialement

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