Géométrie et fonctions

[Flof54]

Bonjour,

j'ai un DM à faire pour Lundi et je n'arrive pas à résoudre un problème qui m'est posé dont voici l'énoncé :

ABCD est un trapèze rectangle en A tel que AB = 6 cm, AD = 4 cm et CD = 2 cm. Le point M décrit le segment [AD].
Le réel x désigne, en cm, la longueur AM. On construit le rectangle AMNP où N et P appartiennent respectivement aux segments [BC] et [AB]. On appelle f(x) l'aire, en cm², du rectangle AMNP.
On admet que (C) est la courbe représentative de la fonction f dans le repère (O,I,J).

Montrer que BP = AM = x.

Pourriez-vous m'éclairer sur la méthode pour répondre à cette question ?

Merci d'avance.
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[Teddy-mension]

Bonsoir !
Avant tout, fais un schéma (si ce n'est déjà fait). C'est primordial pour comprendre.
Sinon, est-ce que tu as une piste, une idée ? Ou est-ce que tu ne sais pas du tout par où commencer ?
(NB: On peut très bien résoudre le problème sans fonction, même si je pense que c'est pas l'objectif..)

[Flof54]

Bonsoir Teddy-mension et merci de m'avoir répondu,
j'ai discuté avec un ami et il m'a dit qu'il fallait rechercher du côté du théorème de Thalès. Mais le problème c'est je ne sais absolument pas comment le mettre en oeuvre dans ce cas de figure. J'ai fait aussi un schéma mais je ne sais pas si il est bon :

[Teddy-mension]

Oui, je pensais aussi au théorème de Thalès !
Personnellement je vois pas en quoi une fonction (et l'aire du rectangle au passage) peut être utile..
(PS: Je ne peux pas voir pas ta pièce jointe car elle est en attente de validation, tu peux me l'envoyer par MP si tu veux.)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flof54]

Je n'arrive pas à utiliser Thales. J'ai essayé de faire BP/BA' = BN/BC = PN/A'C soit BP/4 = BN/BC = BN/4. Mais cela ne fonctionne pas...

[Teddy-mension]

N'ayant pas accès à ton schéma, j'imagine que ton point A' est le projeté orthogonal de C sur (AB). ^^

Je n'arrive pas à utiliser Thales. J'ai essayé de faire BP/BA' = BN/BC = PN/A'C soit BP/4 = BN/BC = BN/4. Mais cela ne fonctionne pas...

Euh, on a bien BP/4 = BN/BC, mais ça ce n'est sûrement pas égal à BN/4, sinon on aurait BP=BN et BC=4, et ça c'est faux.
(Je te conseille d'oublier BN et BC, tu ne connais aucune de ces longueurs, et ça apporte rien..)
Essaye de travailler ton idée de BP/BA' = PN/A'C
Qu'est-ce que tu cherches à prouver avec ce théorème de Thalès ?

[Flof54]

Avec le théorème de Thales, j'espère prouver que BP = AM = x. Mais je ne sais pas si c'est bien ça...

[Teddy-mension]

Oui, mais à quoi est aussi égale la longueur AM.. ? Peut être que ça va te débloquer..

[Flof54]

AM est aussi égale à la longueur PN. Donc Thalès sert à calculer la longueur AM si je comprends bien.

[Teddy-mension]

En fait, on te demande pas de calculer la longueur AM, puisqu'on te dit que c'est égal à x, et que donc ça varie.
On te demande juste de prouver que AM = PB
Or, tu viens de me dire que PN = AM
Donc avec PB/BA' = PN/A'C (d'après le Théorème de Thalès), y'a pas moyen de faire un truc ?

[Flof54]

Mais on ne peut pas calculer PB avec PB/BA' = PN/A'C. A mon avis il ne faut pas calculer la longueur PB, il faut trouver la relation entre PB et AM. Non ?

[Teddy-mension]

Non, il ne faut pas calculer PB, de toute manière la longueur varie.
La relation, on te la donne, c'est simplement AM = PB. Seulement oui, il faut que tu le montres, c'est le but de l'exercice.
Tu sais que PN = AM
et que PB/BA' = PN/A'C
Donc PB/BA' = AM/A'C

Or, tu connais BA', ainsi que A'C.. Plus qu'à finir.

[Flof54]

Donc PB/4 = AM/4. Est-ce que c'était ça qu'il fallait trouvé ?
J'ai vraiment du mal à comprendre le sens de cette question, c'est pour cela que j’éprouve quelques difficultés.

[Teddy-mension]

Oh bah oui, tu touches carrément la réponse là.. !
Tu as PB/4 = AM/4
Et tu dois trouver PB = AM..
Ça te saute pas aux yeux ?

[Flof54]

Si PB/4 = AM/4 alors PB est forcément égal à AM... Je crois que je viens de trouver la réponse, non ?

[Teddy-mension]

En effet, il suffit de multiplier par 4 des deux côtés.
Je te conseille d'essayer de le refaire entièrement tout seul pour bien comprendre chacune des étapes, parce que là c'était un peu haché. ^^
Et je pense là, ta fonction n'est-elle pas faite pour les questions qui suivent ? Des questions comme "Déterminer la longueur AM telle que l'aire du rectangle AMNP soit la plus grande possible" ?

[Flof54]

Si, cette question est faite pour Déterminer la longueur AM telle que l'aire du rectangle AMNP soit la plus grande possible.
Voilà ma réponse rédigée :

On sait que : (A'C)//(PN)
(BA') et (BC) sont sécantes en B
AM=PN

Donc, d'après le théorème de Thalès, on a : BP/BA' = BN/BC = PN/A'C soit BP/4 = BN/BC = PN/4

On sait que AM = PN donc PN/4 = AM/4

D'où BP/4*4 = AM/4*4

Donc BP = AM

C'est ça ?

[Teddy-mension]

Oui, c'est ça ! Même si le BN/BC n'est pas indispensable, encore une fois.. ^^
Par contre, je pense qu'il faut justifier rapidement que BA' = 4cm

[Flof54]

J'ai déjà justifié BA' = 4cm. Merci à toi de m'avoir aidé !