Spe math terminal S exercices

[Maxmaxo]

Bonjour, j ai deux exercies a faire en spe math et je suis totalement perdu car je vois pas un raisonement que je ppeux faire pour resoudre les exercices. Voici les deux enoncees :

• il faut trouver les couples d entiers naturels (a;b) tels que a^2 - b^2 = 20
Pour l instant la seule chose que j ai fais c est que j ai dis qu on a deux conditions : a^2 doit etre superieur ou egal a 20 et que b^2 = a^2 - 20. Mais je sais pas du tout quoi faire apres.

L autre exercice :
• on a deux entiers naturels : a et b et on suppose que N=a^2-b^2 est un entier naturel impair. Il faut demontrer que a et b n ont pas la meme parité.
Ce que j ai ecris pour l instant est que si a^2-b^2 est impair alors on a a^2-b^2 = 2p+1. Mais apres je suis bloquee.

Merci pour votre aide !
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[PlaneteF]

Bonjour,

F-a-c-t-o-r-i-s-e-r, toujours avoir le réflexe de factoriser, et cela s'applique pour le 1er exo.

Pour le 2e exo, tu peux faire un raisonnement par l'absurde (si tu connais tu peux utiliser la notion de congruence, sinon cela se fait sans).


Cordialement

[gerald_83]

Bonjour,

Pour le 1 tu remarques que a²-b² = 20 peut s'écrire (a+b)(a-b) = 20

par exemple
1 * 20 = 20
20 * 1 =20
2 * 10 = 20
10 * 2 = 20
4 * 5 = 20
5 * 4 = 20
etc...

Tu en déduis a et b de manière à ce qu'ils répondent à la fois à cette égalité et au fait qu'ils soient entiers naturels

[PlaneteF]

A noter que l'on peut gagner du temps en remarquant que a+b >= a-b

Donc pour les possibilités de (a+b)(a-b), on peut déjà éliminer les couples (1,20), (2,10), et (4,5)


Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[gerald_83]

Oui bien sur mais je n'allais quand même pas lui mâcher le boulot

[PlaneteF]

Oui bien sur mais je n'allais quand même pas lui mâcher le boulot

C'est vrai que du coup Maxmaxo n'a plus grand chose à faire sur cet exo ! ... Mais il reste un p'tit raisonnement par l'absurde pour le 2e exo.

Cdt

[PlaneteF]

Mais il reste un p'tit raisonnement par l'absurde pour le 2e exo.

Ou ce qui revient exactement au même, démontrer la proposition contraposée.

[Maxmaxo]

Merci beaucoup pour vos reponses !
Pour le premier exercices j ai donc trouvee qu il existe un seul couple possible : (6,4) (j ai utilisé 10x2=20) car ni pour 20x1 ni pour 5x4 je trouve pas d entiers naturels. Est ce que cela est juste?

Et pour l exercice 2 j ai donc essayé de le resoudre par l absurde en utilisant la notion de congruence
J ai dis que supposons par l absurde que si N=a^2-b^2 est un entier naturel impair, alors a et b ont la meme parité.
J'ai fais le cas "si a^2 est pair" et j ai dis que donc a congru à b modulo 2 donc a^2-b^2 (=N) est un multiple de 2 c est a dire que N est pair ce qui n es pas le cas. Est-ce correcte?

Merci !

[ansset]

bonjour,
suis la "piste" Planète ! ( pas astronomiquement bien sur , on la connait pas sa planète.

Ou ce qui revient exactement au même, démontrer la proposition contraposée.

regarde la contraposée, c-a-d le cas ou
a²-b² est pair , soit
(a-b)(a+b) pair , qu'en déduire sur (a+b) et (a-b) ?

ps: ton raisonnement n'est pas juste : ça par exemple
" si N=a^2-b^2 est un entier naturel impair, alors a et b ont la meme parité."
prend a=3 et b=2 par exemple.

[Maxmaxo]

Merci beaucoup,

La seule idée que j ai c est que si N est pair, alors au moins l un des deux facteurs : (a+b) ou (a-b) doit etre pair. Mais je pense pas que j ai bien trouvé car ca me permet pas d avancer dans mon raisonbement. Mais c est la seule idee que j ai

[S321]

Bonjour,

Pourquoi voulez-vous supposer que N est pair ? L'énoncé vous dit de supposer que N est impair et de démontrer qu'alors a et b n'ont pas la même parité.
Comme N=(a-b)(a+b) est impair alors a-b et a+b sont impairs. Maintenant essayez de voir si a et b peuvent avoir la même parité, au pire vous pouvez toujours étudier les quatre cas.

[Maxmaxo]

J'ai verifié que si (a+b) ou (a-b) sont impairs, alors l un des deux nombres a ou b doit etre ipair et l autre pair.
Mais je sais pas comment le demontrer.
J ai eu l idee d ecrire a+b=2p+1 mais ca me permet pas d avancer.

[S321]

Comme je vous l'ai dit, dans ce cas étudiez les quatre cas possibles :
* Si a est pair et b est pair que dire de la parité de a+b, de a-b et de N ?
* Si a est impair et b est pair que dire de la parité de a+b, de a-b et de N ?
* Si a est pair et b est impair que dire de la parité de a+b, de a-b et de N ?
* Si a est impair et b est impair que dire de la parité de a+b, de a-b et de N ?

[Maxmaxo]

Ah je pense que j ai trouvé !
Pour "(a+b)"

Si je fais deux cas :

•a est pair c est a dire a=2p et b est impair c est a dire b=2p'+1
On a donc pour a+b : 2p+2p'+1 = 2(p+p') +1 donc IMPAIR

•a et b sot tout les deux pairs. C est a dire a=2p et b=2p'. On a donc pour (a+b) : 2p+2p' = 2(p+p') donc PAIR

Ps: p appartient a Z.

C est correcte?

[ansset]

oui, c'est juste.
mais pour prolonger , je reviens sur mon post précedent ou j'ai mal présenté la contreposée.
je souhaite la redécrire car ça peut être interessant dans un cas général.
ici on veut montrer :
(a+b)(a-b) impair => a et b parité différentes
contreposée équivalente :
a et b même parité => (a+b)(a-b) pair
il n'y a donc que 2 cas immédiats
1) a et b pairs , alors a+b et a-b pair c'est évident, donc le produit est pair
2) a et b impairs , alors de même a+b pair.....

[Maxmaxo]

D'accord , merci beaucoup, je pense que j'ai bien tout compris.
Merci encore une fois !

[PlaneteF]

Pour l'exo2, on peut démontrer l'implication simplement et de manière directe sans avoir à distinguer différents cas.

Pour cela démontrons la proposition contraposée :

Supposons et de même parité.

Donc

Donc

Donc

Donc est pair.

Par contraposition l'implication de l'énoncé est bien démontrée.

[Maxmaxo]

Oui c est ce que j ai fais au debut (cf. l un de mes messages precedents) mais apparement c est faux parceque on a par exemple a=3 et b=2.

[PlaneteF]

Oui c est ce que j ai fais au debut (cf. l un de mes messages precedents) mais apparement c est faux (...)

Mais bien sûr qui si, c'est juste ! ... Utiliser la congruence modulo 2 dans un tel exercice avec ce type de raisonnement, c'est même une méthode standard !

(...) mais c est faux parceque on a par exemple a=3 et b=2.

Et alors c'est quoi le problème avec a=3 et b=2 ?? ... En écrivant cela tu ne réfutes absolument rien !

Tu fais référence aux messages de ansset, messages que manifestement tu n'as pas compris.



Cordialement

[PlaneteF]

Oui c est ce que j ai fais au debut (cf. l un de mes messages precedents)

Je complète mon message précédent en te disant que non, ce n'est pas exactement ce que tu as fait, ton début de raisonnement n'était pas correct et ce n'est pas du tout ce que je t'ai montré.

Cdt

[Maxmaxo]

D'accord, je pense que je comprends ou j ai fai une erreur. Merci beaucoup !