Puissance 0

[vep]

J'ai fait réviser un cours sur les puissances à mon neveu qui est en 4ème.

Et évidemment, nous avans buté sur le n⁰ = 1

J'en étais resté au fait que c'était une convention nécessaire aux calculs comprenant des puissances.

Mais la logique de mon neveu m'a désarçonnée : la voici :

"si on dit que : (je me suis permise de remplacer le mot "truc" qu'il a utilisé par "unités" qui me semblait plus adéquat )
- 8¹ est un ensemble de 8 unités
- 8² est "8 ensembles de 8 unités " donc 8x8 unités
- 8³ est "8 ensembles de 8 ensembles de 8 unités donc 8x8x8 unités
etc

alors 8⁰ devrait être 0 ensemble de 8 unités donc 0 ...




Je ne trouve rien à redire à ce raisonnement ... mais ... le résultat n'est pas bon ....

Alors avis aux mathématiciens :
- ce raisonnement est-il absurde ?
- Quelle explication au postulat n⁰=1 ?
(si possible avec des mots simples, mes derniers cours de maths n'étant pas spécialement récents (euphémisme).


Merci
-----

[gg0]

Bonjour.

Je dois avouer que je ne vois pas la logique qui fait qu'on passe à 0. Déjà, il y a un problème quand on passe de " 1 ensemble de 8 unités " à "8 ensemble de 8 unités ", puis à "8 ensembles de 8 ensembles de 8 unités". Le 1 du début n'est pas cohérent avec les 8 systématiques ensuite. Si on veut être cohérent, on prend : " 8¹ est 8 unités " où le 8 apparaît 1 fois, comme il apparaît 2 fois pour 8² et trois fois pour 8³.
Alors, pour 8⁰, il faudrait faire apparaître 0 fois le 8, ce qui n'a pas de sens. C'est justement parce que ça n'a pas de sens qu'on peut utiliser une convention qui permet de donner une valeur utile à n⁰.

Mais on s'est aperçu aussi qu'en fait on n'a pas le choix. Par exemple le nombre de sous ensembles d'un ensemble à n éléments est 2ⁿ. Donc pour n=0, l'ensemble vide qui a un seul sous-ensemble (lui-même) a bien 2⁰=1 sous-ensemble.
Autrement dit, cette convention pratique est en fait une nécessité.

Cordialement.

[Seirios]

Bonjour,

Un autre aspect pratique de cette convention est que , ouf Avec , ce ne serait pas le cas, et il faudrait certainement écarter le cas d'une puissance nulle dans pas mal d'énoncés; bref, pas vraiment pratique.

[PlaneteF]

Et puis dans ce cas, si , est correct pour

[A voir en vidéo sur Futura]

[vep]

Bonjour.

Je dois avouer que je ne vois pas la logique qui fait qu'on passe à 0. Déjà, il y a un problème quand on passe de " 1 ensemble de 8 unités " à "8 ensemble de 8 unités ", puis à "8 ensembles de 8 ensembles de 8 unités". Le 1 du début n'est pas cohérent avec les 8 systématiques ensuite. Si on veut être cohérent, on prend : " 8¹ est 8 unités " où le 8 apparaît 1 fois, comme il apparaît 2 fois pour 8² et trois fois pour 8³.

oui c'est vrai

Alors, pour 8⁰, il faudrait faire apparaître 0 fois le 8, ce qui n'a pas de sens. C'est justement parce que ça n'a pas de sens qu'on peut utiliser une convention qui permet de donner une valeur utile à n⁰.

Mais on s'est aperçu aussi qu'en fait on n'a pas le choix. Par exemple le nombre de sous ensembles d'un ensemble à n éléments est 2ⁿ. Donc pour n=0, l'ensemble vide qui a un seul sous-ensemble (lui-même) a bien 2⁰=1 sous-ensemble.
Autrement dit, cette convention pratique est en fait une nécessité.

autrement dit, c'est ainsi
- car nécessaire
- car pratique
- car on n'a pas le choix

Mais il n'y a pas de démonstration permettant d'arriver à ce résultat ?

[vep]

Et puis dans ce cas, si , est correct pour

Merci pour la réponse ... mais j'avoue ne pas la comprendre.

mes cours de maths sont sans doute trop éloignés ...

[gerald_83]

....mais il n'y a pas de démonstration permettant d'arriver à ce résultat ?

Si, il y a la démonstration de Serios au post #3 qui a le mérite d'être simplissime

[PlaneteF]

Merci pour la réponse ... mais j'avoue ne pas la comprendre.

mes cours de maths sont sans doute trop éloignés ...

C'est juste pour dire que les différentes conventions et définitions se rejoignent.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_exponentielle

[gg0]

"Mais il n'y a pas de démonstration permettant d'arriver à ce résultat ? "

Non, puisque c'est une convention (*).

Les matheux la prennent d'ailleurs comme base, puis rajoutent les formules qui vont permettre de définit les puissances entières positives, puis négatives, etc.

Cordialement.

(*) puisque multiplier zéro fois par lui-même n'a pas de sens. On ne peut avoir de démonstration que sur ce qui est déjà défini.

[vep]

Si, il y a la démonstration de Serios au post #3 qui a le mérite d'être simplissime

il ne démontre pas, mais donne un exemple où, sans cette convention, on arriverait à une ineptie.
Il en donne donc un aspect "pratique"


D'ailleurs gg0 vient de dire qu'une convention ne se démontre pas ...

j'entends bien ... mais j'ai toujours du mal à tenir pour acquis ce qui n'a pas d'explication et peut sembler arbitraire.


Merci en tout cas à tous pour vos réponses et le partage de vos connaissances.

[joel_5632]

bonsoir

Il me semble pourtant qu'on démontre que pour a différent de 0, ce n'est pas qu'une convention.

Par définition de la puissance,

Si on définit la fonction comme la réciproque de la fonction Ln, on a: donc donc

En revanche, pour a=0, on choisit conventionnellement que parce que ça nous arrange bien dans plein de situations.

[PlaneteF]

... mais j'ai toujours du mal à tenir pour acquis ce qui n'a pas d'explication et peut sembler arbitraire.

Cette convention a différentes motivations, gg0 et Seirios en ont donné chacun une. Ainsi un arbitraire motivé devrait être plus facilement acceptable pour toi, non ?!

[vep]

Cette convention a différentes motivations, gg0 et Seirios en ont donné chacun une. Ainsi un arbitraire motivé devrait être plus facilement acceptable pour toi, non ?!

Oui.
De toute façon mes moyens intellectuels limités ne me permettent pas d'avoir la prétention de remettre en question de tels postulats.
Aussi, je vais me contenter de les accepter.

[gerald_83]

Pour faire simple, si ça peut t'aider, je me permets de reprendre le post de Serios :

[vep]

merci à vous. C'est limpide.

[PlaneteF]

Pour faire simple, si ça peut t'aider, je me permets de reprendre le post de Serios :

Salut gerald_83,

Ce raisonnement qui consiste à démontrer que a un "vice de forme", et d'ailleurs ce n'est pas ce raisonnement qui a été fait par Seirios qui disait qu'il s'agissait là d'une convention. Partons depuis le début, à savoir la définition :

Définition : Pour entier naturel non nul,

A noter que d'après cette définition, le cas n'a pas de sens.

A partir de cette définition il est facile de démontrer que pour tout et entiers naturels non nuls :

A ce stade là, cette formule est inapplicable pour ou nul, pour la simple et bonne raison que n'est toujours pas défini ! Or c'est justement cette formule non démontrée dans ce cas là que tu utilises pour démontrer que ! Il est là le "vice de forme" dont je parlais !

En fait c'est justement le raisonnement inverse qu'il faut faire. C'est parce que l'on veut que cette formule soit applicable pour des entiers nuls que l'on pose par convention , ... et c'était bien là le sens du message de Seirios.


On retrouve tout cela mentionné différemment dans le lien Wikipédia ci-dessous.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Puissance_d'un_nombre


Cordialement

[gg0]

Pour Joel_5632 :

Tu utilises une définition élaborée de puissances de nombre non quelconques. Au départ Vep pose le problème des puissances entières d'un nombre quelconque. je ne crois pas qu'un cas particulier d'une théorie élaborée et non générale aide à comprendre les choix faits dans le cadre le plus simple. Et comme Vep avait déjà dit qu'il ne comprend pas ce genre de notation (message #6), c'est un peu dommage d'y revenir ...

Cordialement.

[PlaneteF]

Pour Joel_5632 :

Tu utilises une définition élaborée de puissances de nombre non quelconques. Au départ Vep pose le problème des puissances entières d'un nombre quelconque. je ne crois pas qu'un cas particulier d'une théorie élaborée et non générale aide à comprendre les choix faits dans le cadre le plus simple. Et comme Vep avait déjà dit qu'il ne comprend pas ce genre de notation (message #6), c'est un peu dommage d'y revenir ...

... et je complète en remarquant par ailleurs que cette définition élaborée ne fait pas disparaître la convention pour autant, car dans la définition du logarithme népérien lorsque l'on pose , on retrouve cette convention en filigrane.

Cdt