Exercices sur les complexes (Niveau : Terminale S)
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Exercices sur les complexes (Niveau : Terminale S)



  1. #1
    LordHorus

    Question Exercices sur les complexes (Niveau : Terminale S)


    ------

    Bonjour, j'ai deux exercices à faire sur les complexes mais je bloques sur certaines questions et j'aimerais avoir un peu d'aide pour les résoudre si possible. Je vous écris l'énoncé :

    1er exercice : Résolution d'une équation

    On pose P(Z) = z4 - 6z3 + 23z² - 34z + 26.

    1) α est un nombre complexe quelconque (quand c'est souligné c'est le conjugué (la barre au dessus)).
    a) Démontrez que P(α) = P(α) => Fait
    b) Déduisez-en que si P(α) = 0, alors P(α) = 0 => Fait

    2) a) Calculer P(1 + i) => 0
    b) Indiquer deux solutions complexes de l'équation P(z) = 0 => {1 + i; 1 - i}


    3) On pose Q(z) = [z - (1 +i)][z - (1 - i)].
    a) Vérifiez que P(z) est le produit du polynôme Q(z) et d'un polynôme Q1(z) du second degré que l'on déterminera.
    b) Résolvez dans C l'équation P(z) = 0.

    Donc j'ai fait les questions 1 et 2 et il me reste uniquement le 3 à faire, sauf que je n'y arrive pas vraiment. J'ai compris que P(z) = Q(z)Q1(z) mais comment peut-on trouver Q1(z) ? En décalant de l'autre côté pour donner Q1(z) = P(z)/Q(z) ?

    Merci d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter

    Cordialement, LordHorus. (Je mettrais le deuxième exercice quand j'aurais fini celui-là pour éviter de s'embrouiller).

    -----

  2. #2
    Noct

    Re : Exercices sur les complexes (Niveau : Terminale S)

    On te dit déjà que est de degré 2. Donc il suffit de poser et d'écrire l'égalité entre et afin de trouver A, B et C

  3. #3
    LordHorus

    Re : Exercices sur les complexes (Niveau : Terminale S)

    Ça ne m'avance pas vraiment, j'étais déjà au courant, mais il faut que je fasse le calcul de z4 - 6z3 + 23z² - 34z + 26 = (z² - 2z + 2)*az² + bz + c ? (z² - 2z + 2) c'est Q(z).

  4. #4
    Noct

    Re : Exercices sur les complexes (Niveau : Terminale S)

    Développe cette expression

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    LordHorus

    Re : Exercices sur les complexes (Niveau : Terminale S)

    Ça m'avance à quoi ? Je trouve un long résultat et on ne peut rien faire à vue d’œil.

    P(z) = Q(z)Q1(z)
    z4 - 6z3 + 23z² - 34z + 26 = (z² - 2z + 2)(az² + bz + c)
    z4 - 6z3 + 23z² - 34z + 26 = az4 + bz3 + z²c - 2z3a - 2z²b - 2zc + 2az² + 2bz + 2c.

  7. #6
    untruc

    Re : Exercices sur les complexes (Niveau : Terminale S)

    à vue d oeil tu as a et c. Il te reste à trouver b

    dans ton cours on t'as expliqué qu une ecriture polynomiale sour la forme a+nx^n + ... a_1 x + a_0 est unique/
    donc tu sais déja que z=1, et 2c= 26
    il reste à trouver les coeff d'ordre 3 , 2 et 1, et trouver b qui verifie les 3 equations.
    Dernière modification par untruc ; 01/11/2014 à 20h12.

  8. #7
    Duke Alchemist

    Re : Exercices sur les complexes (Niveau : Terminale S)

    Bonsoir.
    Citation Envoyé par LordHorus Voir le message
    ...
    z4 - 6z3 + 23z² - 34z + 26 = az4 + bz3 + z²c - 2z3a - 2z²b - 2zc + 2az² + 2bz + 2c.
    Regroupe les termes suivant les puissances de z puis identifie les coefficients.

    Duke.

    EDIT : un lapsus de la part de untruc : c'est a=1 et 2c=26
    Dernière modification par Duke Alchemist ; 01/11/2014 à 20h17.

  9. #8
    LordHorus

    Re : Exercices sur les complexes (Niveau : Terminale S)

    z4 - 6z3 + 23z² - 34z + 26 = (a)z4 + (b - 2a)z3 + (c - 2b + 2a)z² + (2c + 2b)z + (2c)

    Donc c = 26/2 = 13.
    Puis a = 1.
    Et b <=> -6 = b - 2a = b - 2 donc b = -6 + 2 = -4.

    a = 1; b = -4 et c = 13.

    Du coup je dois dire que Q1(z) = 1z² - 4z + 13 et je calcule les deux dernières solutions à partir de ça ?

  10. #9
    Duke Alchemist

    Re : Exercices sur les complexes (Niveau : Terminale S)

    Re-
    Citation Envoyé par LordHorus Voir le message
    z4 - 6z3 + 23z² - 34z + 26 = (a)z4 + (b - 2a)z3 + (c - 2b + 2a)z² + (-2c + 2b)z + (2c)

    Donc c = 26/2 = 13.
    Puis a = 1.
    Et b <=> -6 = b - 2a = b - 2 donc b = -6 + 2 = -4.

    a = 1; b = -4 et c = 13.

    Du coup je dois dire que Q1(z) = 1z² - 4z + 13 et je calcule les deux dernières solutions à partir de ça ?
    Juste une petite correction en rouge ci-dessus Parce qu'en vérifiant avec 2c+2b=-34, cela ne marchait pas ! Il faut toujours vérifier ses résultats !

    Sinon, en effet, la fin consiste à déterminer les deux solutions manquantes afin de terminer l'exercice.

    Duke.

  11. #10
    LordHorus

    Re : Exercices sur les complexes (Niveau : Terminale S)

    Du coup j'ai trouvé D = -36 donc deux solutions complexes : z1 = 2 - 3i et z2 = 2 + 3i

  12. #11
    Duke Alchemist

    Re : Exercices sur les complexes (Niveau : Terminale S)

    Bonsoir.

    Il n'y a plus qu'à vérifier que ces racines annulent bien le polynôme P(z).

    Bonne soirée.
    Duke.

  13. #12
    LordHorus

    Re : Exercices sur les complexes (Niveau : Terminale S)

    Ils annulent le polynôme P(z) ^^ Merci pour l'aide !

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