Croissance comparée: généralisation

[getgate]

Bonjour,

J'ai un DM de mathématiques a rendre bientôt et je vous avoue bloquer dessus....

Énoncé:
Pou tout l'exercice on a p définit sur N* et x sur R+.
1.a) Justifier graphiquement que
b)Montrer que
2. On définit la fonction
a) Montrer que
b) Montrer que
3. Soit n un entier naturel non-nul
a) a partir de la question 2 justifier que
b) en déduire la limte de

Alors question 1 pas de problème l'exponentielle écrase x sans problème.
La 2.a est passée mais je bloque totalement sur la 2.b.... (du coup je ne me suis pas penché sur la suite)
J'aimerai donc, si possible, quelques explications..

Merci d'avance!
-----

[getgate]

Désolé je vois que la fonction ne s'affiche pas (sur mon ordinateur en tous cas) donc c'est gp(x)= exp(x) - (x^p)/(p!)

[gg0]

Bonjour.

Pour la question 2-b, tu as déjà traité les cas p=1 et p=2. On peut penser alors à une récurrence ...

Cordialement.

[getgate]

D'accord alors j'ai pour p = 1 et 2.
Donc dans ma récurrence je vais supposé que gp(x) est toujours positive et voir, après initialisation, que cest valable pour p+1 et ensuite prouver que exp(x) écrase x^p et que, pas conséquent, écrase x^p/p!?
Il faudra résonner avec la primitive du coup selon la question précédante?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Je ne comprends pas trop de quoi tu parles.
"dans ma récurrence je vais supposer que gp(x) est toujours positive et voir, après initialisation, que c'est valable pour p+1 " Oui, puis conclure.
"et ensuite prouver que exp(x) écrase x^p et que, pas conséquent, écrase x^p/p!?" ??? Aucun rapport avec le sujet. D'ailleurs cette idée d'écraser est très probablement une idée fausse ! As-tu comparé et exp(x) pour x=10 ou 100 ?

Cordialement.

[getgate]

Merci!
Mais du coup je ne vois pas comment prouver que avec p+1, la relation est vrai pour tout x.
Dans mon esprit ce n'est pas très clair que ce soit vrai pour tout x alors qu'on effectue la récurrence sur n.

[gg0]

Tu parles de quelle question ?

Si c'est bien la 2b, tu montres pour un x donné non précisé que est positif, comme ton x est quelconque, ça prouve bien que c'est vrai pour tout x.

Quand vas-tu t'y mettre ?

[getgate]

Oui c'est bel et bien la 2.b dont je parle.

D'accord donc même si on effectue la récurrence sur p, la relation sera quand même vraie si x varie?
(j'ai vraiment du mal à concevoir une récurrence avec deux inconnues désolé je ne suis pas très doué....)

Et mon autre question était: Puisque est-ce que ?

[gg0]

Pour la récurrence, il n'y a qu'une variable. D'ailleurs il n'y a pas vraiment de x, on te demande de prouver que pour tout t>0, gp(t) est positif.


Je ne comprends pas complétement ta deuxième question, et d'ailleurs on se moque ici de la notion de primitive (on a déjà une relation de dérivation, c'est plus évident à écrire). Jusqu'à maintenant, G n'est pas définie, donc je ne peux pas savoir de quoi tu parles (Une majuscule est une lettre comme une autre).

Donc écris ici quelle est la propriété que tu dois démontrer (c'est mal écrit dans ton énoncé), dépendant de p. Prouve qu'elle est vraie pour p=1, par exemple, puis suppose-la pour un certain p, et il est très facile de prouver qu'elle est vraie pour p+1. Vu ce qu'on t'a fait faire avant.

Mais ne perds pas ton temps à poser des questions qui ne te servent qu'à éviter de t'y mettre.

[getgate]

Bon alors, j'y ai passé un bon moment et jen e vois pas du tout comment passer au rang p+1.
Du coup j'ai essayé de prouver que mais je tombe sur une relation qui est fausse à partir de x=1 alors bon....
Pourriez-vous m'aider?

[gg0]

Tu ne fais pas le minimum, répondre à mes questions ... je ne peux pas t'aider. C'est toi qui fais l'exercice, n'attends pas qu'on le fasse à ta place.

[getgate]

Donc je récapitule je dois prouver que donc que et donc que
J'ai l'initialisation pour les rangs 1 et 2.
J'ai une relation avec une dérivée qui doit surement pouvoir m'aider dans cette démarche (mais je ne vois pas comment).
Pour raisonner par récurrence il faut que je passe au rang p+1 mais je ne vois pas du tout comment y accéder appart en remplaçant p par p+1. Il faut que je remplace simplement et que je prouve que est strictement positif?

[gg0]

Tu continues à ne pas mettre sérieusement en œuvre une preuve par récurrence, et à écrire des calculs simplement parce qu'ils sont évidents et t'évitent de te mettre sérieusement au travail.

Je ne t'aiderai que si tu t'y mets vraiment ...d'ailleurs, il est possible qu'alors tu n'aies plus besoin d'aide !

[getgate]

Je n'ai jamais réellement réussi a appliquer correctement une récurrence donc avec une fonction ce sera pire encore...
Ne trouvant aucune hypothèse de récurrence du coup j'ai essayé de prouver que la dérivée est positive et que donc pour tout p supérieur a 1 g est croissante et donc positive sur R+??

[gg0]

Alors tu verras avec ton prof, quand il corrigera ...

Si tu n'es pas capable d'écrire la propriété à démontrer et de rédiger le début de la preuve, il est inutile qu'on l'écrive pour toi, ça ne t'apprendra rien, puisque les précédentes écritures ne t'ont rien appris.

Ciao !

[getgate]

Bah je peux rédiger le début de la récurrence mais je ne vois pas comment faire pour l'hérédité: l'initialisation c'est bon. Après je dois montrer que mais c'est cette étape que j'aimerai savoir comment faire....

[getgate]

Bah je peux rédiger le début de la récurrence mais je ne vois pas comment faire pour l'hérédité: l'initialisation c'est bon. Après je dois montrer que mais c'est cette étape que j'aimerai savoir comment faire....
(si je me suis inscrit sur ce forum, c'est que je ne comprend pas toujours les explications de mon professeur...)

[gg0]

Toujours du baratin, jamais la rédaction du début de la preuve .....

"On veut démontrer que ... (ici quelque chose qui dépend de n)
Si n=1, alors ...
Supposons ...

[getgate]

Soit Pn la proposition .
Pour un indice 1: (car )
Pn est donc initialisée pour l'indice 1.
On suppose que Pn est vraie pour un indice n.
et
----- partie manquante...
Pn est donc héréditaire.
Pn est donc initialisée au rang 1 et est héréditaire, Pn est est donc vraie pour tout p de N.

[gg0]

1) Ta proposition ne dépend pas de n, il n'y a même pas de n dedans.
2) "On suppose que Pn est vraie pour un indice n" ça veut dire quoi ?
3) d'où sors-tu que ? Tu ne l'as pas démontré
4) "Pn est est donc vraie pour tout p de N." ??? Là encore, tu montres que tu n'as pas compris à quoi s'applique une preuve par récurrence. Et que tu es prêt à écrire n'importe quoi en maths sans comprendre, sans même lire ce que tu écris ....

Reprends donc tout ça en écrivant seulement ce que tu comprends et qui a du sens.

[getgate]

1)Donc alors j'ai écrit Pn par automatisme j'aurai du écrire Pp.
2)Je ne sais pas ce que veut dire exactement cette phrase mais dans toutes ses récurrences le prof les met et c'est obligatoire...
3)C'est ce que l'on cherche à démontrer justement.
4)c'est la conclusion pou indiquer que notre proposition est toujours vraie non?
Donc:
Soit Pp la proposition .
Pour un indice 1: (car )
Pp est donc initialisée pour l'indice 1.
On suppose que Pp est vraie pour un indice n.

----- partie manquante...
Pp est donc héréditaire.
Pp est donc initialisée au rang 1 et est héréditaire, Pp est est donc vraie pour tout p.

[gg0]

Je te demandais de traduire la phrase "On suppose que Pp est vraie pour un indice n" ou si tu préfères "On suppose que Pp est vraie pour un indice p" Tu ne peux pas faire l'hérédité si tu n'utilises pas la propriété que tu supposes.

Une fois cette traduction faite, et en utilisant la question 2a plus la valeur de g_p+1 en 0, tu arriveras à tes fins.

Cordialement.

NB : la récurrence, c'est très simple. On a une propriété qui dépend d'un entier n; on sait démontrer qu'elle est vraie pour un entier n₀ et que si elle est vraie pour un entier, elle est vraie pour l'entier d'après; on conclut qu'elle est vraie pour tous les entiers supérieurs ou égaux à n₀.
C'est assez évident, puisqu'on atteint tous les entiers après n₀ en ajoutant 1 suffisamment de fois (ajouter 1 = passer au suivant).

[PlaneteF]

Bonjour,

Soit Pp la proposition .

Juste une petite remarque, même si cela est sous-entendu, n'hésite pas à être plus explicite en écrivant :



(il est important d'être clair et précis à propos de l'intervalle sur lequel tu travailles)


Cordialement

[getgate]

D'accord je comprend mieux déjà ce qu'est la récurrence merci! (ça va m'aider pour mes études supérieures)
Par contre avec je ne vois pas quoi faire puisqu'on recherche p+1 et non p-1...

[gg0]

Que se passe-t-il pour p=n+1 ?

A retenir : de même que p+1 est l'entier suivant p, p est l'entier suivant p-1.

[getgate]

donc si on prouve que la proposition est vraie pour p-1 et qu'on fait de notre hypothèse de récurrence l'équation de la question 2.a ça fonctionne aussi?
Ou si l'on cherche a montrer que l'hypothèse est vraie pour p et qu'on prouve pour le rang précédant ça valide aussi pour le rang suivant?

[PlaneteF]

Par contre avec je ne vois pas quoi faire puisqu'on recherche p+1 et non p-1...

Cette égalité est valable pour tout entier . Donc tu peux formellement remplacer dans cette égalité par , et la nouvelle égalité sera alors valable pour tout entier

Cdt

[getgate]

Ah oui je vois mieux donc notre hypothèse de récurrence serait donc et grâce a ça l'hérédité peit être démontrée.

[PlaneteF]

Ah oui je vois mieux donc notre hypothèse de récurrence serait donc

Pas du tout, ... je crois que tu es en train de tout mélanger !

[getgate]

Ah...
J'ai compris qu'en intégrant on obtiendrait ....