Calculer une surface

[michel.]

Bonjour,
je dois calculer l'aire de la figure ombrée, sachant que la longueur de la corde AB, tangente au petit cercle est de 24 cm
une idée? Merci
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[topmath]

Bonjour:

Votre question est imprécise car la surface ombrée est une couronne en plus la corde ne change en rien sur la question , à moins que vous disiez la surface voulue est comprise entre ... et.... ?

Cordialement

[PA5CAL]

Bonjour

La question est suffisamment précise, car l'aire grisée ne dépend que de la corde représentée.

En appelant O le centre des cercles (là où se situe la croix) et C le point milieu de la corde AB (là où elle est tangente au cercle intérieur), on peut écrire deux relations trigonométriques relatives à l'angle COA, liant :
- d'une part, les rayons du grand cercle (OA) et du petit cercle (OC),
- d'autre part, la longueur AC (=AB/2) et le rayon du grand cercle.

Il suffit ensuite d'écrire l'aire de la couronne en fonction des rayons du grand cercle et du petit cercle, puis de remplacer ces derniers par les expressions obtenues ci-dessus. Une propriété trigonométrique bien connue depuis l'antiquité permet de simplifier le résultat.

[joel_5632]

si l'aire ne dépend d'aucune autre donnée, alors on peut considérer que la corde est un diamètre et que le petit cercle est réduit à un point

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonsoir.

On peut le faire sans trigonométrie, juste avec la formule de l'aire d'une couronne et le théorème de Pythagore.

Mais il faut commencer le calcul puis identifier ...

[PA5CAL]

si l'aire ne dépend d'aucune autre donnée, alors on peut considérer que la corde est un diamètre et que le petit cercle est réduit à un point

Le fait que l'aire de dépend que de la corde explique juste que l'énoncé soit complet, mais c'est juste une conséquence du résultat. On ne peut pas se servir de cette propriété a priori sans l'avoir démontrée.

[PA5CAL]

On peut le faire sans trigonométrie, juste avec la formule de l'aire d'une couronne et le théorème de Pythagore.

En effet, vu que dans le raisonnement que j'ai exposé, les fonctions trigonométriques ne sont jamais calculées, mais juste utilisées pour figurer des éléments géométriques permettant d'appliquer le théorème du philosophe et mathématicien grec.

[joel_5632]

Le fait que l'aire de dépend que de la corde explique juste que l'énoncé soit complet, mais c'est juste une conséquence du résultat. On ne peut pas se servir de cette propriété a priori sans l'avoir démontrée.

oui, exact.

[michel.]

Bonjour,
merci pour vos reponse
PA5CAL, êtes-vous sûr que le rayon du grand cercle est AB/2?

[PA5CAL]

PA5CAL, êtes-vous sûr que le rayon du grand cercle est AB/2?

?? Je n'ai jamais écrit ça.

J'ai écrit que la longueur AC = AB/2, et qu'il y avait une relation à établir entre cette longueur et le rayon du grand cercle.

[michel.]

Ahh désolée, je n'avais pas vu le 'et' dans votre phrase
Je n'arrive franchement pas a trouver cette relation, vu que je n'ai pratiquement aucune donnée
Pouvez-vous m'avancer?

[joel_5632]

Applique le théorème de Pythagore dans le triangle OAC
Cela donne une relation entre R et r les rayons du grand et du petit cercle.

[gg0]

Bonjour Michel.

Soient R et r les rayons du grand cercle et du petit cercle. Tous deux ayant le même centre O. Calcule l'aire de la couronne circulaire grisée. Puis fais apparaître sur la figure des segments de longueur R et r.
Ensuite, un tout petit peu d'imagination suffit.

"je n'ai pratiquement aucune donnée" Faux. Tu en as exactement une numérique et d'autres géométriques. Et ça suffit si on essaie vraiment de faire l'exercice Pour l'instant tu n'as rien produit ici, te cachant derrière la difficulté.

Au travail !

[michel.]

A(couronne) = (R-r)^2 x Pi
En appliquant le théorème de pythagore sur le triangle OAC : R^2 = r^2 + AC^2 => (R-r)^2 =AC^2
A(couronne)= AC^2 x Pi (avec AC=AB/2)
?

[michel.]

Ah non oulala, (R-r)^2≠*R^2 - r^2

[gg0]

L'aire de la couronne est l'aire du grand cercle moins celle du petit, ce qui donne ...

[michel.]

Merci gg0 je viens de voir votre réponse.
ce qui donne Pi(R^2-r^2) et on a R^2 - r^2 =(AB/2)^2
Donc l'aire = Pi x (AB/2)^2
merci encore, votre aide est précieuse.