Questions sur les intégrales

[Podzz]

Bonjour,

J'ai une question concernant qui me trouble un peu. Je sais que dans

permet d'identifier la variable, ici et qu'il ne fait donc pas partie de l'intégrale en tant que facteur. Cependant dans

on est amené, dans une étape de calcul, à intégrer un . Le résultat final est donc composé d'un .


Ma question est donc, pourquoi est-il intégré ?

Une seconde question concernant les facteurs qu'on peut faire sortir. Quand on les réintroduits, ils s'appliquent à l'ensemble des termes ? Car dans la résolution de cette intégrale :

on pose v = 2u-3 puis exprimer les termes en fonction de v. On peut ensuite sortir 2 facteurs 1/2 sous forme de 1/4 ce qui donne :

cependant, je lis qu'ensuite c'est égale à...


Le facteur 1/4 s'applique sur un seul terme, c'est normal ?

Merci.
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[PA5CAL]

Bonsoir

1) Ce n'est pas parce que dx permet d'identifier la variable d'intégration qu'il ne fait pas partie de l'intégrale en tant que facteur. L'expression correspond bien à une somme de f(x) multiplié par dx, où dx correspond à une différence infinitésimale de x.


peut être vu comme le cas limite de la somme :

quand ∆x devient infiniment petit :

Intuitivement, on peut comprendre qu'on s'approche de plus en plus de la surface comprise entre la courbe f(x) et l'axe des abscisses (c'est-à-dire de l'intégrale de f(x)) quand on rend la largeur ∆x des rectangles de plus en plus petite.

On peut donc considérer qu'on multiplie par dx dans l'intégrale au même titre qu'on multiplie par ∆x dans la somme discrète des surfaces des rectangles.


2) Dans :

le +x provient de l'intégration de 1.

En effet, en dérivant le résultat, on retouve :



3) On a :

Il y avait une erreur dans la formule.

[gg0]

Bonjour Podzz.

ne dénote pas une intégrale, mais une primitive de f (sur un domaine supposé connu auparavant).

Dans la notation d'intégrale , la tradition historique a conservé la variable x et le dx comme expliqué par PA5CAL. D'autant que cela sert à bien s'y retrouver dans certaines techniques comme le changement de variables. Et que c'est relié à d'autres types de calculs (différentielles extérieures, dérivées partielles). Mais du point de vue de l'intégration, les mathématiciens préfèrent utiliser la notation
Où on manifeste bien que c'est la fonction qui a une intégrale, pas son expression en fonction d'une variable (que l'on intégre avec f(x) dx ou f(t) dt, ça ne change rien). Sur un domaine donné, on associe à une fonction un nombre.

Cordialement.

[Podzz]

Bonjour,

Merci pour vos réponses.

Donc dx est bien considéré comme un facteur car l'intégrale d'une fonction f(x) (sur un intervalle connu) représente la somme d'aires de rectangles de hauteur f(x) et de largeur ∆x. Avec dx une variation infinitésimale de x... okay. Si on dérive l'aire totale, on retombe sur f(x), donc cet aire est la primitive de la fonction. C'est curieux je trouve.

Mais si dx est un facteur on ne l'intègre pas pour autant, sinon devrait être amener à faire ça :


C'est ce que j'ai cru voir dans l'intégration de sin²(x) car dans mon livre il y a une erreure. En effet, il y a une étape où on remplace cos²(x) par 1-sin²(x), qui est simplifié de cette façon :




ce qui m'a fait croire qu'on pouvait intégrer dx, et je ne comprenais pas pourquoi on ne le faisant donc pas avant.
L'erreure vient de -sin²(x) dx qui doit passer entièrement (c'est un produit) de l'autre coté de l'égalité, en laissant donc un ...

Merci à vous.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour Podzz.

Tu te trompes encore dans "Mais si dx est un facteur on ne l'intègre pas pour autant, sinon devrait être amener à faire ça ..." Il n'y a pas de raison que l'intégrale d'un produit soit le produit des intégrales. Déjà la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées, alors l'intégrale, qui fait en gros à l'envers de la dérivation ...

Mais le dx n'est pas un facteur. Dans la notation , le symbole d'intégration par rapport à la variable x est ; autrement dit le dx fait partie du symbole intégrale.
Par convention habituelle, est noté , comme si le 1dx était un produit. De même, souvent on écrit pour .

Cordialement.

[PA5CAL]

Mais si dx est un facteur on ne l'intègre pas pour autant, sinon devrait être amener à faire ça :

En vertu de quoi ? D'où sort cette formule ?

D'une part, lorsque j'indique que dx est un facteur, c'est pour affirmer qu'on a bien affaire à une opération de multiplication (produit) entre f(x) et dx dans la formule. Car c'est la signification du terme « facteur », et qu'en l'occurrence au-delà des notations il s'agit bien de cela.

D'autre part, dans la mesure où, du point de vue calculatoire, l'intégrale renvoie à la primitive, on peut s'autoriser à confondre les deux dans les notations tant qu'on n'oublie pas la réalité mathématique sous-jacente. Cela ne doit pas aboutir à inventer des règles sans fondement :

- Si on peut noter :

c'est parce que :

mais ça ne va pas plus loin.

dx représentant une variation infinitésimale de x, c'est-à-dire infiniment petite, ici on ne va pas jusqu'à définir de fonction intégrable x↦dx, ni donc de primitive qu'on noterait F(dx). Et quand bien même on le ferait, alors il faudrait plutôt écrire quelque chose comme :


- Sur le principe, le produit de deux primitives ne correspond pas à la primitive du produit.

[Podzz]

Bonjour,

Ma formule est, en effet, complètement fausse. J'ai été un peu vite en besogne dans mes conclusions.

Mais le dx n'est pas un facteur [...] le dx fait partie du symbole intégrale.

Voilà qui balaye mes doutes à propos de la nature de dx.

lorsque j'indique que dx est un facteur, c'est pour affirmer qu'on a bien affaire à une opération de multiplication (produit) entre f(x) et dx dans la formule. Car c'est la signification du terme « facteur », et qu'en l'occurrence au-delà des notations il s'agit bien de cela.

D'accord, j'avais pris le terme "facteur" comme un élément pouvant être "manipuler" mais comme là clarifié gg0, il fait uniquement partie du symbole intégrale.

Une dernière chose, ma tentative de correction concernant l'intégrale de sin²(x) est correcte et justifiée ?

Merci encore à vous deux.

[PA5CAL]

Voilà qui balaye mes doutes à propos de la nature de dx.
(…)
mais comme là clarifié gg0, il fait uniquement partie du symbole intégrale.

Non, pas "uniquement". Le dx n'a pas une fonction purement syntaxique, il a aussi une réelle signification qui est celle d'un accroissement infinitésimal, comme j'ai tenté de l'expliquer. On peut bien évidemment l'ignorer si l'on s'en tient à la seule notation des primitives, mais quand on aborde le domaine du calcul intégral et différentiel, on ne peut pas continuer à adopter ce point de vue sans passer à côté de l'essentiel.

Le fait est que l'existence de l'intégrale nécessite que l'expression représente une valeur infinitésimal (car pour qu'une somme infinie de termes soit finie, il faut qu'une infinité de ces termes soient infiniment petits). Mais l'omniprésence du produit par un terme infinitésimal ne signifie pas que ce dernier soit sans valeur pour l'expression, bien au contraire.

Dire que le dx fait uniquement partie du symbole intégrale, ce serait un peu comme affirmer que, dans l'écriture des jours de la semaine en anglais, les lettres "day" ne seraient qu'un élément typographique sous prétexte qu'on les retrouve à la fin de tous ces mots. En fait, tout comme dx, c'est parce qu'il ont une signification importance dans ce contexte ("day"=jour) qu'on les y trouve toujours.

Une dernière chose, ma tentative de correction concernant l'intégrale de sin²(x) est correcte et justifiée ?

Oui.

[gg0]

PA5CAL,

il ne faut pas mélanger la dimension historique de dx, le rappel de l'idée qui a servi à définir les intégrales, et la technique de calcul.
D'abord, il n'y a pas de dx dans une intégrale. On peut la noter sans variable puisqu'elle ne concerne que la fonction à intégrer et (éventuellement) un domaine d'intégration. Ensuite, ce n'est pas dx qu'on intègre, ni f(x)dx, mais la fonction f.

Par contre, de façon heuristique on peut comprendre l'intégrale comme tu le fais, mais ça complique fortement la compréhension : C'est quoi ces "éléments infinitésimaux, non nuls mais qui additionnés à un nombre "normal" n'ajoutent rien ?

En fait, pour être à l'aise, il faut manipuler deux points de vue :
* Le syntaxique, où le dx a deux significations : marquer la fin de l'intégrale, et donner la variable d'intégration;
* Le sémantique, où on a l'idée que l'intégrale marque une accumulation dont la dérivée est justement la fonction qu'on intègre.

Dans aucun de ces deux points de vue n'apparaît une quelconque utilisation de " valeur infinitésimale" dont on peut parfaitement se passer.

Je reconnais cependant que cette présentation ancienne (elle date de Leibnitz) a son utilité pour présenter rapidement certaines questions de maths appliquées; elle a aussi ses défauts (par exemple dans le calcul de l'aire d'une surface de l'espace), car ce ne sont pas n'importe quels " valeurs infinitésimales " qu'il faut manipuler pour calculer juste.

Cordialement.

[PA5CAL]

Je ne vais pas relancer une discussion sur les notations et interprétations en mathématiques, leur choix et leur évolution, mais juste rappeler qu'elles influencent fortement notre façon de penser et de travailler. Si la notation que j'emploie et l'interprétation que je suggère semblent compliquer les choses au niveau du présent sujet (qui traite plutôt de recherche de primitive), elles ont aussi le mérite d'être plus utiles à l'approche calculatoire différentielle/intégrale.

Et selon ce point de vue, dx ne marque pas forcément la fin de l'intégrale (on peut le mettre au début ou au milieu, voire le faire apparaître plusieurs fois), et on peut même s'autoriser à faire figurer dans l'expression plusieurs variables liées entre elles (utile notamment quand ces liens sont difficiles à exprimer) voire des différentiations d'expressions (au risque de faire tomber les puristes en syncope).

Comme tu le dis toi-même, cela présente un gros intérêt pratique dans l'écriture et le développement des calculs. Quant aux "défauts", il faut comme en toute chose respecter des règles (calculer ça ne s'invente pas, ça s'apprend), mais c'est plus facile quand a une bonne vision de la signification des éléments qu'on manipule. Or, il me semble que cette notation présente justement l'avantage de bien mieux la rappeler, et aussi de suffisamment circonscrire et baliser les inconvénients pour ne pas les rater quand ils se présentent (mais ça aussi, ça s'apprend).


Cela dit, compte tenu de la confusion que cette question provoque chez Podzz, il me semble préférable qu'il s'en tienne pour l'instant à ton seul point de vue, et qu'il ne se re-penche sur celui que j'ai exposé que lorsqu'il maîtrisera mieux la question.

[Tryss]

Petite remarque (d'un niveau plus elevée) : lorsque l'on travaille avec l'intégrale de Lebesgue pour la mesure de Lebesgue, on note aussi dx, et il n'est point là question d’infinitésimaux, juste d'une notation pour dire "par rapport à la mesure de Lebesgue".

[Podzz]

Le dx n'a pas une fonction purement syntaxique, il a aussi une réelle signification qui est celle d'un accroissement infinitésimal

Oui je comprends, on le voit très clairement lorsqu'on utilise la somme de Reimann. Mais comme le souligne gg0 :

ce n'est pas dx qu'on intègre, ni f(x)dx, mais la fonction f.

L'erreure du bouquin m'avait plongé en pleine confusion, mais maintenant tout est clair.

[PA5CAL]

Petite remarque (d'un niveau plus elevée) : lorsque l'on travaille avec l'intégrale de Lebesgue pour la mesure de Lebesgue, on note aussi dx, et il n'est point là question d’infinitésimaux, juste d'une notation pour dire "par rapport à la mesure de Lebesgue".

En effet. Mais dans quelle mesure parle-on encore vraiment de la même chose ?… Question de point de vue. La généralisation contraignante d'une notation présente parfois le risque de faire perdre les avantages pratiques et le sens qu'on lui attribuait historiquement, et les fonctions intégrables au sens de Riemann présentent un bien trop gros morceau pour abandonner ce type de considérations, du moins tant qu'on ne les a pas comprises et pas su bien les manipuler.

[Tryss]

Mais dans quelle mesure parle-on encore vraiment de la même chose ?…

Bah, l'opérateur "Intégrale de Riemann sur [a,b]" étend l'opérateur "Intégrale de Lebesgue sur [a,b]". Dans le sens ou le domaine du premier est inclus dans celui du second, et qu'ils coïncident sur le plus petit.

Un peu (en bien pire) comme la transformée de Fourier des distributions étend la transformée de Fourier classique (pour les fonctions L1) et celle de L2

et les fonctions intégrables au sens de Riemann présentent un bien trop gros morceau pour abandonner ce type de considérations, du moins tant qu'on ne les a pas comprises et pas su bien les manipuler.

Je ne suggérais pas d'abandonner l'intégrale de Riemann, celle ci étant très utile, par exemple pour les processus stochastiques ou l'intégrale stochastique est basée sur celle de Riemann et non celle de Lebesgue (pour des questions de mesurabilité principalement)

La notation renvoyant alors d'une certaine façon à l'accroissement infinitésimal du processus

Mais ceci dépasse largement le cadre "collège et lycée", bien que ce soit intéressant

[PA5CAL]

Bah, l'opérateur "Intégrale de Riemann sur [a,b]" étend l'opérateur "Intégrale de Lebesgue sur [a,b]". Dans le sens ou le domaine du premier est inclus dans celui du second, et qu'ils coïncident sur le plus petit.

Ce serait plutôt le second qui étend le premier…

Un peu (en bien pire) comme la transformée de Fourier des distributions étend la transformée de Fourier classique (pour les fonctions L1) et celle de L2

Oui, la comparaison est juste. Dans ce cas aussi, la généralisation apporte un outil très puissant du point de vue purement mathématique, mais du point de vue calculatoire on complique énormément et inutilement les choses quand on traite des fonctions qui n'en ont pas besoin (quoique là, les applications pratiques qui impliquent de devoir sauter le pas me semblent beaucoup plus nombreuses que pour les intégrales de Lebesgue). Comme on dit, « le mieux est le mortel ennemi du bien ».

[IngAgro]

S'il vous plait j'ai des questions concernant les différentielles partielles du deuxième degré :
1- Quand on peut dire écrire que df/dudv est égale à df/dvdu ?
2- Comment résoudre ce problème ? Image ci-jointe
3- Etude des extremums de cette fonction, f(x,y)= 1/2x²y² - xy+1/x+1/y
4-Comment étudier la différentiabilité de f(x,y) sur R
5- Est qu'on peut calculer le Jacobien si on n'a pas une matrice jacobienne carré ?
Merçi d'avance

[gg0]

Aucun rapport avec le sujet. Quelle impolitesse de venir dans un ancien sujet alors qu'on peut très bien en poser un nouveau avec un titre adapté.
Et en plus irrespect des règles du forum !! Jusqu'au forum qui n'est pas le bon (tout relève du forum du supérieur).
Un peu de réflexion personnelle avant d'écrire aurait réglé la plupart de ces problèmes.