Ensemble de points
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 21 sur 21

Ensemble de points



  1. #1
    kaderben

    Ensemble de points


    ------

    Bonjour

    Il s'agit de déterminer un ensemble de points.

    D'abord je voulais savoir ceci:

    Pour démontrer quelquechose, quelquefois l'énoncé précise si on doit démontrer une implcation ou une équivalence comme ceci:
    démontrer que si ..... alors..... qui est une implication.
    démontrer que... si et seulement si... qui est une équivalence, là il faut démontrer l'implication et sa réciproque.

    Voici un exemple ou l'énoncé ne précise rien:

    Dans le plan complexe (o,u,v) on donne: A(-1-i)
    M(z) est un point du plan.

    Déterminer l'ensemble (E) des points M tels que: z+1+i=V(5)*e^(teta), teta réel, V(5)=racine de 5

    Réponse:
    z-(-1-i)=V(5)*e^(teta)
    MA=V(5) par égalité des modules
    argument(z-(-1-i))=(u,AM)=teta (2Pi) par égalité des arguments.

    Donc l'ensemble (E) est le cercle de centre A et de rayon V(5)

    Est ce correcte? Ou est ce que c'est incomplet ?

    Merci pour vos comentaires

    -----

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : ensemble de points

    Bonjour.

    Ton énoncé étant flou (qui est thêta ?) je ne me prononcerai pas sur la correction que tu donnes. Mais la détermination d'un ensemble de points est clairement une question d'équivalence : Tu as un certain ensemble E, mal connu, et tu veux montrer que c'est l'ensemble bien connu F (un cercle par exemple). Donc tu montres que


    Très souvent, on montre d'abord que les éléments de E sont dans F, puis on examine, pour un point quelconque de F, s'il est bien dans E. Ce qui revient à traiter séparément le sens direct et le sens réciproque.

    Cordialement.

  3. #3
    kaderben

    Re : ensemble de points

    Bonjour ggO
    J'ai précisé teta dans mon message; teta réel. regarde ceci
    Déterminer l'ensemble (E) des points M tels que: z+1+i=V(5)*e^(teta), teta réel, V(5)=racine de 5
    Je vais traiter
    Très souvent, on montre d'abord que les éléments de E sont dans F, puis on examine, pour un point quelconque de F, s'il est bien dans E. Ce qui revient à traiter séparément le sens direct et le sens réciproque.

  4. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : ensemble de points

    Bonjour.

    thêta réel ne dit pas quelles valeurs il peu prendre. Si thêta est fixe, alors il y a un seul point, si où k varie dans , alors l'ensemble est constitué des sommets d'un hexagone centré à l'origine, etc.

    J'imagine qu'il s'agit de l'ensemble de ces points lorsque thêta prend toutes les valeurs réelles. Une notation mathématique précise est alors claire :


    Cordialement.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Médiat

    Re : ensemble de points

    Bonjour,

    On peut même se demander si ce ne serait pas
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  7. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : ensemble de points

    Effectivement, Médiat !

    En fait, suite à la "correction" proposée, j'ai lu un i qui n'était pas dans l'énoncé, et j'ai copié/collé sans réfléchir !

    Cordialement.

  8. #7
    kaderben

    Re : ensemble de points

    Excuse moi ggO, j'ai oublié l'imaginaire i, Mediat a raison donc il faut lire:

    z+1+i=V(5)*e^(i*teta)
    teta réel quelconque (teta n'est pas fixé)

    V(5)*e^(i*teta) est l'écriture exponentielle du nombre complexe.

  9. #8
    kaderben

    Re : ensemble de points

    Je reprends:

    Si M(z) du plan est tel que: z+1+i=V(5)*e^(i*teta), teta réel quelconque, alors
    z-(-1-i)=V(5)*e^(i*teta)
    MA=V(5) par égalité des modules
    argument(z-(-1-i))=(u,AM)=teta (2Pi) par égalité des arguments.
    Donc M est sur le cercle de centre A et de rayon V(5)

    Réciproquement, si N est sur le cercle de centre A et de rayon V(5) alors
    l'affixe du vecteur AN est zN-zA=z-(-1-i)=z+1+i et I zN-zA I=V(5)
    arg(zN-zA)=(u,AN)=alpha, alpha réel quelconque car N sur le cercle
    L'écriture complexe de zN+1+i est: V(5)*e^(i*alpha)
    zN+1+i= V(5)*e^(i*alpha)

    Conclusion: (E) est le cercle de centre A et de rayon V(5)

    Est ce que c'est complet et correcte ?

  10. #9
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : ensemble de points

    Il manque juste "donc N est dans E avant la conclusion générale.

    Cordialement.

  11. #10
    kaderben

    Re : ensemble de points

    Merci ggO pour la précision:
    donc N est dans E
    Est ce que quelqu'un peut me donner un exercice à faire sur un ensemble de points ou' justement les deux ensembles ne sont pas égaux
    c'est à dire: si M dans (E), M n'est pas dans (F)

    J'ai regardé dans mes documents et je n'ai pas trouvé d'exemples.

  12. #11
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Ensemble de points

    Par exemple :
    Soit E l'ensemble des points du plan dont les coordonnées (x,y) dans un repère orthonormé vérifient . Déterminer E.

    On peut le faire par équivalences (avec beaucoup de soin), mais fais le par implications réciproques.

    Cordialement

  13. #12
    kaderben

    Re : Ensemble de points

    Si M(x,y) du plan est tel que:V(x²+y²-6x-8y+25)=1 alors
    x²+y²-6x-8y+25=1 car V(X)=a équivaut à X=a² si a>=0
    (x-3)²+(y-4)²=1 (en apparence c'est le cercle de centre (3;4) et de rayon 1)

    Si N(x,y) sur le cercle de centre I(3;4) et de rayon 1 alors
    IN²=1, vecteur IN
    (x-3)²+(y-4)²=1
    Les deux membres sont positifs
    Je suis tenté d'écrire:V((x-3)²+(y-4)²)=1 et dire que N est dans (E) mais je ne suis pas sûr!

    Si c'est juste alors (E) est le cercle de centre (3;4) et de rayon 1

    C'est la racine carrée qui me gene un peu, et pourtant c'est du calcul algébrique!
    si a=b ,a et b positifs on peut écrire V(a)=V(b) et non V(a)=V(b) ou V(a)=-V(b)

  14. #13
    kaderben

    Re : Ensemble de points

    Mais l'équation d'un cercle ne commence pas par une racine carrée....

  15. #14
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Ensemble de points

    Quelle drôle d'idée !

    D'abord "l'équation", comme s'il n'y avait qu'une seule équation possible ! Ensuite voici une équation du cercle de centre O(0,0) et de rayon 1 :


    Bon, plus sérieusement, tu as montré que tout point de E est un élément de F, le cercle de centre (3;4) et de rayon 1.
    Reste à voir si tous les points de F sont dans E. A toi de réfléchir... et si c'est le cas, E=F

    Je te rappelle simplement que donne automatiquement une valeur unique évidente à a et b.

    En fait, j'ai construit trop rapidement mon exemple. Il faut prendre pour E l'ensemble des points M(x,y) tels que

    Cordialement.
    Dernière modification par gg0 ; 25/07/2015 à 00h20.

  16. #15
    kaderben

    Re : Ensemble de points

    Evidemment, V(a)=-V(b) que si a=b=0 (j'avais la tête ailleurs!)

    Par étude du signe du trinôme, -x²+6x-8>=0 pour 2<=x<=4. (E) est défini pour 2<=x<=4
    Si M(x,y) tels que y=4+V(-x²+6x-8) alors
    (y-4)²=-x²+6x-8=-(x²-6x+8)=-((x-3)²-1)=)=-(x-3)²+1
    (x-3)²+(y-4)²=1
    M sur le cercle de centre I(3;4) et de rayon 1
    La totalité du cercle est dans la bande limitée par les droites x=2 et x=4

    Réciproquement, si N(x;y) est sur ce cercle alors
    vecteur IN(x-3;y-4)
    IN²=1
    (x-3)²+(y-4)²=1
    N est sur le cercle de centre I et de rayon 1 et ce cercle est dans la bande limitée par les droites x=2 et x=4

    Donc (E) est le cercle de centre I et de rayon 1

    Qu'en penses tu ?

  17. #16
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Ensemble de points

    Euh ... dans la réciproque, tu prouves que si N est sur le cercle, alors N est sur le cercle. pas besoin d'écrire 6 lignes pour cette évidence.

  18. #17
    kaderben

    Re : Ensemble de points

    Oui je me répète!

    Mais ce que j'ai demandé dans mon message c'est d'avoir, si possible, un exercice ou' les deux ensembles E et F ne sont pas égaux, c'est à dire si M est dans E, dans la réciproque on obtient que N n'est pas dans E.

  19. #18
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Ensemble de points

    Ce que tu écris n'a aucun sens : si M est dans E, dans la réciproque on obtient que N n'est pas dans E.

    Sois sérieux : Le sens direct est "si M est dans E, alors M est dans F". Le sens réciproque est "si M (*) est dans F, alors M est dans F", ou, comme dans cet exemple "Si M est dans telle partie de F, alors M est dans E"(**)
    Toi tu as dit que "si N est dans F, alors N est dans F". relis-toi et essaie de comprendre ce que tu as écrit !

    Cordialement.

    (*) Pourquoi changer de nom, M ou N, quelle importance ?
    (**) Ce qui permet de justifier que cette partie est dans E, puis, si aucun autre point de F n'est dans E, que E est cette partie de F.

  20. #19
    kaderben

    Re : Ensemble de points

    Sois sérieux : Le sens direct est "si M est dans E, alors M est dans F". Le sens réciproque est "si M (*) est dans F, alors M est dans F"
    Peut être je me suis mal exprimé!

    Est ce qu'il y a des cas ou' la réciproque peut être fausse ? Et dans ce cas les ensembles E et F ne sont pas identiques, je pense.

    Si ma question n'a aucun sens n'en tiens pas compte car je ne sais si elle a un sens.

  21. #20
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Ensemble de points

    Je t'en ai donné un exemple, tu ne l'as pas traité.

    C'est dans ta tête que se fait la compréhension. Inutile de poser des questions quand tu ne réfléchis pas aux réponses.

  22. #21
    kaderben

    Re : Ensemble de points

    Bonjour

    Voilà, j'ai trouvé ce je voulais savoir!

    J'ai fait une confusion totale dans mes précédents messages.

    Voici un exemple qui illustre ce que je voulais dire
    f est l'application de C\{1} dans C qui, à tout z différent de 1 associe z'=f(z)=(z+2i)/(z-1)

    Si M (z) décrit le cercle de centre A(1) et de rayon R>0 quel ensemble décrit par M'(z) ?

    Réponse:
    z=(z'+2i)/(z'-1), z' différent de 1
    Si M est sur le cercle de centre A et de rayon R>0 alors:
    AM=R
    I z-1I =R
    I (z'+2i)/(z'-1)-1I=R
    I(2i+1)/(z'-1I=R
    V(5)/AM'=R
    AM'=V(5)/R
    donc M' sur le cercle de centre A et de rayon V(5)/R

    Réciproquement, si M' sur le cercle de centre A et de rayon V(5)/R alors
    AM'=V(5)/R
    Iz'-1I=V(5)/R
    .
    .
    I(2i+1)/(z-1)=V(5)/R
    V(5)/AM=V(5)/R
    AM=R
    M sur le cercle de centre A et de rayon R

    Conclusion: M' décrit le cercle de centre A et de rayon V(5)/R

    Dans cet exemple, les deux ensembles ne sont pas égaux et c'est ce que j'avais dans la tête.

    J'avoue que dans ce topic j'ai appris pas mal de choses sur les ensembles de points.

    Merci pour tout et à la prochaine pour d'autres questions.

Discussions similaires

  1. Ensemble de points
    Par knightwlker dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 4
    Dernier message: 20/11/2014, 14h54
  2. Ensemble de points
    Par procato dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 7
    Dernier message: 20/06/2011, 22h11
  3. ensemble de points
    Par kaderben dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 17/02/2010, 12h51
  4. ensemble de points
    Par invite4a8b4642 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 10
    Dernier message: 16/09/2007, 18h48
  5. ensemble de points
    Par invite70431e77 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 11/12/2004, 13h41