Suites U(n) et V(n) + Récurrence
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Suites U(n) et V(n) + Récurrence



  1. #1
    kilouxa

    Suites U(n) et V(n) + Récurrence


    ------

    Bonjour, J'e suis actuellement en TS et nous avons démarrez l'année avec les suites (et plus précisément avec la recurrence)

    Mais voila je bloque sur un exercice :

    On considère les suites U(n) et V(n) définies par U(0)=2 et pour tout n de N.

    U(n+1) = 5U(n) - 3 / U(n)+1
    et V(n) = U(n) - 3 / U(n) - 1

    1- Conjecturer une formule explicite pour V(n). (Il faut que je calcule V(0) , V(1) et V(2) puis en déduire V(n) ).
    2 - En déduire une conjecture pour U(n). (La je bloque :/ je ne sais pas comment faire).
    3 - La démontrer. (Avec le théorème de recurrence ?)


    Merci infiniment de votre aide, Kilouxa

    -----

  2. #2
    invite19431173

    Re : Suites U(n) et V(n) + Récurrence

    Salut !

    Pour les formules, tu aurais pas oublié des parenthèses ? Ca pourrait rendre l'ensemble plus lisible.

    Pour la question 1, tu peux nous dire ce que tu as trouvé STP ?

  3. #3
    kilouxa

    Re : Suites U(n) et V(n) + Récurrence

    Bah y'a pas d'autres parentheses ,

    U(n+1) = [ 5U(n) - 3 ] / [ U(n)+1 ]
    et V(n) = [ U(n) - 3 ] / [ U(n) - 1 ]

    Voici une photo de l'exercice : IMG_1093.jpg

    J'ai trouvé pour le 1) :

    V(0) = -1
    V(1) = -2/4 = -0,5
    v(2) = -4/16 = -0,25

    Donc on peut conjecturer l'expression de V(n) en f(n) soit V(n) = -1/(2^n)

    EDIT : je ne sais pas pourquoi l'image est a l'envers :/
    Images attachées Images attachées  
    Dernière modification par kilouxa ; 13/09/2015 à 20h13.

  4. #4
    PlaneteF

    Re : Suites U(n) et V(n) + Récurrence

    Bonsoir,

    Citation Envoyé par benjy_star Voir le message
    Pour les formules, tu aurais pas oublié des parenthèses ? Ca pourrait rendre l'ensemble plus lisible.
    Dans le cas présent, le premier objectif de mettre des parenthèses c'est d'abord d'avoir une écriture correcte, c'est-à-dire non fausse, ... la lisibilité elle, elle vient ensuite


    Rappel pour kilouxa : https://fr.wikipedia.org/wiki/Ordre_des_op%C3%A9rations


    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 13/09/2015 à 20h28.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    kilouxa

    Re : Suites U(n) et V(n) + Récurrence

    euh ... je peux savoir ou est l'erreur ?

  7. #6
    Duke Alchemist

    Re : Suites U(n) et V(n) + Récurrence

    Bonsoir.

    Ne vois-tu pas la différence entre
    U(n+1) = 5U(n) - 3 / U(n)+1
    et V(n) = U(n) - 3 / U(n) - 1
    et
    U(n+1) = [ 5U(n) - 3 ] / [ U(n)+1 ]
    et V(n) = [ U(n) - 3 ] / [ U(n) - 1 ]
    Que tu as écrit toi-même...

    Que dirais-tu de remplacer v(n) par ce que tu as trouvé ?

    Duke.

  8. #7
    PlaneteF

    Re : Suites U(n) et V(n) + Récurrence

    Citation Envoyé par kilouxa Voir le message
    euh ... je peux savoir ou est l'erreur ?
    L'erreur c'est qu'en ne mettant pas de parenthèses toi tu as écrit :




    Même problème pour ton écriture de


    --> C'est la division qui est prioritaire sur l'addition et la soustraction, ... et non pas l'inverse.


    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 13/09/2015 à 22h36.

  9. #8
    kilouxa

    Re : Suites U(n) et V(n) + Récurrence

    Bah c'est pour sa qu'après j'ai mis les crochets :/

  10. #9
    kilouxa

    Re : Suites U(n) et V(n) + Récurrence

    Pour le 2) il faut que j'isole U(n) et que je remplace V(n) par la conjecture du 1) ?

  11. #10
    PlaneteF

    Re : Suites U(n) et V(n) + Récurrence

    Citation Envoyé par kilouxa Voir le message
    Pour le 2) il faut que j'isole U(n) et que je remplace V(n) par la conjecture du 1) ?
    Tout simplement et tout naturellement !

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 14/09/2015 à 19h40.

  12. #11
    kilouxa

    Re : Suites U(n) et V(n) + Récurrence

    Il faut donc démontrer que U(n) = ((-1/2^n) - 3) / ((-1/2^n) - 1)
    Donc on applique le théorème de récurrence et on obtient :

    U(n+1) = ( (-1/2^(n+1)) - 3) / ((-1/2^(n+1)) - 1)

    mais comment faire après pour retrouver l'expression d' U(n+1) du début : [ 5U(n) - 3 ] / [ U(n)+1 ] ?

  13. #12
    PlaneteF

    Re : Suites U(n) et V(n) + Récurrence

    Citation Envoyé par kilouxa Voir le message
    Il faut donc démontrer que U(n) = ((-1/2^n) - 3) / ((-1/2^n) - 1)
    Il y a des signes "moins" partout et toi tu laisses le résultat comme ça ... Par ailleurs tu peux multiplier numérateur et dénominateur par pour avoir moins de fractions.

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 14/09/2015 à 22h12.

  14. #13
    PlaneteF

    Re : Suites U(n) et V(n) + Récurrence

    Donc avec ces simplifications, pour l'hérédité du raisonnement par récurrence, je te fais l'amorce :

    Hypothèse de récurrence : Soit . Supposons que

    Démontrons que :


    Or par définition on a :

    Maintenant dans cette expression tu remplaces par son expression issue de l'hypothèse de récurrence.

    Yapuka

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 14/09/2015 à 22h29.

  15. #14
    kilouxa

    Re : Suites U(n) et V(n) + Récurrence

    Je comprend pas comment vous passer de

    U(n) = ((-1/2^n) - 3) / ((-1/2^n) - 1) à


  16. #15
    PlaneteF

    Re : Suites U(n) et V(n) + Récurrence

    Citation Envoyé par kilouxa Voir le message
    Je comprend pas comment vous passer de

    U(n) = ((-1/2^n) - 3) / ((-1/2^n) - 1) à

    Cf. message#12. Que puis-je dire de plus ?

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 14/09/2015 à 23h37.

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