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Facteur commun : résoudre une équation du second degré

  1. #1
    julien_4230

    Facteur commun : résoudre une équation du second degré

    bonjour.

    COmment résoudre :
    - x^3 + 2x² + x - 2 = 0

    On me dit de factoriser par le "facteur commun", mais je ne vois pas du tout comment faire, bien que ce doit être très bête...

    Merci de m'aider.

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    fderwelt

    Re : Un petit soucis... Terminal S

    Citation Envoyé par julien_4230
    bonjour.

    COmment résoudre :
    - x^3 + 2x² + x - 2 = 0

    On me dit de factoriser par le "facteur commun", mais je ne vois pas du tout comment faire, bien que ce doit être très bête...

    Merci de m'aider.
    Bonjour,

    Ce n'est pas difficile mais il faut un peu d'habitude. Les équations du 3ème degré sont toujours enquiquinantes à résoudre, sauf si elles ont une racine "évidente": +1, -1, ou peut-être +2 ou -2. Il suffit d'essayer (c'est là qu'il faut prendre l'ahitude d'avoir ce réflexe). Ensuite, il te reste une équation du 2ème degré, que je suppose tu sais résoudre.

    -- françois

  4. #3
    Lévesque

    Re : Un petit soucis... Terminal S

    Citation Envoyé par julien_4230
    bonjour.

    COmment résoudre :
    - x^3 + 2x² + x - 2 = 0

    On me dit de factoriser par le "facteur commun", mais je ne vois pas du tout comment faire, bien que ce doit être très bête...

    Merci de m'aider.
    Je ne sais pas s'il y a une façon (simple) de résoudre systématiquement ce genre d'équation, mais moi j'utilise l'intuition, qui ne fonctionne pas pour des équations compliqués. Normalement, nos profs nous donnent des équations simple.

    Commence par écrire ton équation comme le produit de deux parenthèses, tout en t'assurant que le produit des premier membres te donne -x^3:

    (x^2 + A)(-x + B)= - x3 + 2x² + x - 2

    Si tu multiplies, tu obtient

    -x3+Bx2-Ax+AB = - x3 + 2x² + x - 2

    C'est évident écrit comme ça que B=2 et que A=-1.

    Donc: (x3-1)(-x + 2) = - x3 + 2x² + x - 2
    = 0.

    Mais bon, j'avoue qu'il y a beaucoup d'intuition dans tout ça... Peut-être un prof de math ferait mieux qu'un physicien!

    Salutations,

    Simon

    EDIT: croisement avec Francois.
    La lumière ne fait pas de bruit. (Félix Leclerc)

  5. #4
    julien_4230

    Re : Un petit soucis... Terminal S

    Merci bien pour cette méthode !! je l'apprendrai par coeur

  6. #5
    rvz

    Re : Un petit soucis... Terminal S

    Salut !

    La bonne méthode est celle de François. Tu tentes 1,-1,2,puis -2.
    Dans ton cas, tu vois que 1 est racine.
    Donc (x-1) (ax^2+bx+c) = -x^3 + 2 x^2 +x -2 = ax^3 +(b-a) x^2 + (c-b) x -c.
    Ce qui te donne a = -1, donc b = 2 +a = 1, c = 1 +b = 2, et on s'est pas trompé puisque la dernière équation donne aussi c =2.
    Donc c'est égal à (x-1)(-x^2+ x +2 )
    Or on sait factoriser -x^2 +x +2. Le discriminant vaut 9, et on trouve que les racines sont -1 et 2, ce que François avait peut-être vu de suite
    Du coup, c'est égal à -(x-1)(x+1)(x-2) !

    Ce que je reproche à la méthode de Simon, c'est le choix d'un polynôme de second degré de la forme x^2 + A ! Pourquoi n'y aurait-t-il pas de terme en x ? Certes, ça marche, mais c'est sans doute qu'il connaissait le résultat ...

    __
    rvz

  7. #6
    lolouki

    Re : Un petit soucis... Terminal S

    Oui en fait il y a deux methodes ..
    Soit l'indentification p(x)= (polynome second degré)(polynome premier degré)

    Ou als trouver des racines evidentes ... ( en général 0 1 -1 et 2 sont efficaces lol)

  8. #7
    matthias

    Re : Un petit soucis... Terminal S

    Citation Envoyé par lolouki
    Oui en fait il y a deux methodes ..
    Soit l'indentification p(x)= (polynome second degré)(polynome premier degré)

    Ou als trouver des racines evidentes ... ( en général 0 1 -1 et 2 sont efficaces lol)
    La première méthode conduit généralement à une autre équation du troisième degré, donc je ne vois pas trop l'intérêt.

  9. #8
    GuYem

    Re : Un petit soucis... Terminal S

    Je suis d'accord avec Matthias, la bonne méthode est de tester si -2,-1,0,1,2 ne seraient pas solutions. Si oui mettre en facteur x-solution et roule ma poule pour du second degré.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  10. #9
    lolouki

    Re : Un petit soucis... Terminal S

    heu je crosi que je me suis mal fait comrpendre lol

    On prend notre équation : 3x^3 + 5x² +x - 1 (par exemple)

    On dit qu'elle est égale a (ax²+bx+c)(x+d) et on identifie on obtient un polynome du premier degré et un polynome du second degré qu'on factorise facilement avec delta si c'est possible.


    j'espere que je dis pas n'importe quoi lol

  11. #10
    GuYem

    Re : Un petit soucis... Terminal S

    Non tu ne dis pas n'importe quoi.

    Ce que nous rajoutons par rapport à toi, c'est que le plus souvent d vaut -2,-1,0,1,2.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  12. #11
    Lévesque

    Re : Un petit soucis... Terminal S

    Pourquoi le plus souvent d vaut -2,-1,0,1,2 ?

    Si j'écris (ax^2 + bx + c)(x + d), je peux faire beaucoup beaucoup de polynômes de degré 3 différents. Y a-t-il un sondage qui a été fait et qui montre qu'en moyenne les profs qui écrivent les questions d'examen choisissent plus souvent une valeur entre -2 et 2 pour d?

    Si j'apprenais que mes étudiants utilisent cette méthode, je choisirais d=4/9...
    La lumière ne fait pas de bruit. (Félix Leclerc)

  13. #12
    matthias

    Re : Un petit soucis... Terminal S

    Citation Envoyé par Lévesque
    Si j'écris (ax^2 + bx + c)(x + d), je peux faire beaucoup beaucoup de polynômes de degré 3 différents. Y a-t-il un sondage qui a été fait et qui montre qu'en moyenne les profs qui écrivent les questions d'examen choisissent plus souvent une valeur entre -2 et 2 pour d?
    Pas besoin de sondage. Sauf cas particuliers, un élève de lycée ne peut pas résoudre une équation du troisième degré qui n'admet pas au moins une racine simple.

  14. #13
    GuYem

    Re : Un petit soucis... Terminal S

    Citation Envoyé par Lévesque
    Si j'apprenais que mes étudiants utilisent cette méthode, je choisirais d=4/9...
    Trés bonne idée

    Trève de plaisanteries, comme a dit Matthias, prend un bouquin de term et cherche des équations du troisième degré, tu verras que si il n'y a pas d'indications données pour la résoudre alors il y a une racine évidente entière de valeur absolue plus petite que 2.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  15. #14
    Lévesque

    Re : Un petit soucis... Terminal S

    Citation Envoyé par GuYem
    Trés bonne idée

    Trève de plaisanteries, comme a dit Matthias, prend un bouquin de term et cherche des équations du troisième degré, tu verras que si il n'y a pas d'indications données pour la résoudre alors il y a une racine évidente entière de valeur absolue plus petite que 2.
    Ok... j'ai fait mes études au Canada, et malheureusement je n'ai jamais remarqué d'aussi joyeuse régularités...

    Mais un jour, il faudra savoir trouver des solutions beaucoups plus complexe, et chercher des racines par tatonnement n'est pas très efficace.
    La lumière ne fait pas de bruit. (Félix Leclerc)

  16. #15
    Lévesque

    Re : Un petit soucis... Terminal S

    Citation Envoyé par matthias
    Pas besoin de sondage. Sauf cas particuliers, un élève de lycée ne peut pas résoudre une équation du troisième degré qui n'admet pas au moins une racine simple.
    Je suis désolé! je suis vraiment hors sujet, car je ne sais même pas ce qu'est le lycée....

    je me retire avant de troubler les lycéens...
    La lumière ne fait pas de bruit. (Félix Leclerc)

  17. #16
    Loup_solitaire

    Re : Un petit soucis... Terminal S

    . -x^3 + 2x^2 + x -2
    . = -x^2.(x-2) +x-2
    . = (1-x^2).(x-2)
    . = (x-2).(1+x).(1-x)

    . x1= 2
    . x2=-1
    . x3= 1

    Bon week end

  18. #17
    GuYem

    Re : Un petit soucis... Terminal S

    Citation Envoyé par Loup_solitaire
    . -x^3 + 2x^2 + x -2
    . = -x^2.(x-2) +x-2
    . = (1-x^2).(x-2)
    . = (x-2).(1+x).(1-x)

    . x1= 2
    . x2=-1
    . x3= 1

    Bon week end
    Merci à toi aussi
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  19. #18
    fderwelt

    Re : Un petit soucis... Terminal S

    Citation Envoyé par GuYem
    Trés bonne idée

    Trève de plaisanteries, comme a dit Matthias, prend un bouquin de term et cherche des équations du troisième degré, tu verras que si il n'y a pas d'indications données pour la résoudre alors il y a une racine évidente entière de valeur absolue plus petite que 2.
    Bonjour,

    Ce n'est pas si idiot (voir les réponses qui suivent sur le thread)... Pourquoi on n'a jamais de particules de spin 3 en mécanique quantique?

    -- françois

  20. #19
    Lévesque

    Re : Un petit soucis... Terminal S

    Citation Envoyé par fderwelt
    Bonjour,

    Ce n'est pas si idiot (voir les réponses qui suivent sur le thread)... Pourquoi on n'a jamais de particules de spin 3 en mécanique quantique?

    -- françois
    Oh! de la physique!

    En fait, il y a les fermions (helicité + ou - 1/2), les bosons (helicité + ou - 1) et les gravitons sont considérés avoir une hélicité + ou - 2.

    Mais(!) la composition de deux (ou plus) moments cinétiques peut donner plus que 2. Si tu as deux objets ayant spin j1 et j2 respectivement, tu peux les considérés comme un objet ayant un moment cinétique j compris entre |j1-j2| et j1 + j2 inclusivement.

    Donc, un objet constitué de trois sous-objets de spin 1/2 peut avoir un moment cinétique aussi grand que 3/2. Plus tu ajoutes de sous-objets, plus tu augmentes la valeur possible du moment cinétique total. En fait, on obtient une propabilité que l'objet ait tel spin j entre |j1-j2| et j1 + j2 (par sauts d'unité), probabilité étant donné par les coefficients de clebsch-gordan.

    Mais(!) en mécanique quantique, il n'y a pas que le spin. On a toute sortes d'opérateurs pouvant être représentés par des matrices, et où il nous faut calculer les valeurs propres (données par les zéros d'un polynôme d'ordre égal à la dimension de la matrice) celles-ci étant très rarement restreintes à -2,...,2!

    Salutations,


    Simon
    La lumière ne fait pas de bruit. (Félix Leclerc)

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