Méthode de résolution d'un polynôme de degré 3
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Méthode de résolution d'un polynôme de degré 3



  1. #1
    Gohan.

    Méthode de résolution d'un polynôme de degré 3


    ------

    Bonsoir j'aurai bien besoin d'un peu d'aide pour terminer mon exercice je peux plus avancer voilà:
    On se propose de résoudre l'équation: ax³+bx²+cx+d=0, a≠0
    1. Soit x=X+h. Déterminer h pour que l'équation obtenue soit du type X³+pX+q.(1).
    2. Démontrer que cos³θ=1/4(cos3θ+3cosθ).
    3. Pour résoudre l'équation (1), soit X=rcosθ.
    Déterminer r pour que l'équation obtenue soit du type αcos3θ=β.
    Achever la résolution lorsque 4p³+27q²≤0.

    Voilà mes réponses:
    1.C'est fait et je trouve h=-b/(3a).
    2. Pas de difficultés
    3. C'est ici que je bloque un peu en fait après avoir remplacé X j'obtient l'équation:
    1/4 r³cos3θ + (3/4 r²+c/a - b²/3a²) rcosθ + 2b³/27a³ - bc/3a² + d/a=0.
    Je conclus ainsi que cette équation ne peut être de la forme αcos3θ=β que si
    (3/4 r²+c/a - b²/3a²)r = 0 *
    *<=> r=0 ou 3/4 r²+c/a - b²/3a²=0 et comme r est non nul car dans ce cas on aurait X=0.
    donc *<=> 3/4 r²=- c/a + b²/3a²
    *<=> r²= 4/(9a²) [b²-3ac] et si b²-3ac≥0 alors
    *<=> r= ± 2/(3∣a∣) √(b²-3ac) j'obtient 2 valeur de r et je ne sais pas quelle la bonne???
    Merci de votre aide.

    -----
    Dernière modification par Gohan. ; 11/04/2016 à 22h14.

  2. #2
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Méthode de résolution d'un polynôme de degré 3

    sans avoir vérifié tous tes calculs, les deux semblent valables.
    mais tu dois pouvoir prendre r>=0
    ce qui ne change rien à X , mais correspond juste à un autre théta.
    Cdt
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  3. #3
    Gohan.

    Re : Méthode de résolution d'un polynôme de degré 3

    Bonsoir, je voulais savoir s'il n'est pas nécessaire de poser une autre condition sur les réels a,b,c et d pour déterminer r car comme je sais que mon équation doit être de la forme α cosθ = β donc β/α≤1 ( en fait je l'ai essayé mais j'obtiens pas grand chose c'est pourquoi je vous demande votre avis) mais en suivant votre conseil j'ai prie
    r= 2/(3∣a∣) √(b²-3ac) = √[4/3(b²/3a²-c/a)] ainsi par identification j'obtiendrai:
    α=1/4[√4/3(b²/3a² - c/a)]=1/4[√(-4/3 p)]³ et β= -(2b³/27a³+d/a-bc/a²) = -q.
    j'ai donc 1/4[√(-4/3 p)]³cos3θ = -q en élevant le tout au carré je trouve que
    <=>4/9 p³ (cos3θ)² = q²
    <=>(cos3θ)²= 1/3 × 27q²/4p² or on sait que 4p³+27q²≤0 => 4p³/27q²≤-1<0
    donc on a 27q²/4p³<0 => 1/3 × 27q²/4p²<0 => (cos3θ)²<0 impossible donc j'en conclus que si 4p³+27q²≤0 alors l'équation n'admet pas de solution.
    J'ai essayé encore de trouver une relation beaucoup plus explicite sur les coefficients a,b,c et d à partir de 4p³+27q²≤0 mais je trouve à la fin un développement trop encombrant mais je pense bien que ma conclusion est bonne(???). Merci de m'aider
    Dernière modification par Gohan. ; 12/04/2016 à 23h15.

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