Digicode et probabilité

[stefller]

Bonjour à tous,

J'ai fais un petit raisonnement sur des probabilités mais je voudrais que quelqu'un me l'infirme ou me le confirme.
Voici le sujet. Vous aurez peut-être remarqué, comme moi, que sur les digicodes de portes certains boutons sont usés. De ce fait, le code est plus facile à trouver.
Pour faciliter le calcul, j'ai posé l'hypothèse suivante : code à 4 chiffres ou lettres.
Ma question est donc de savoir combien de boutons faut-il utiliser pour protéger au mieux son immeuble. 4 différents, 3, 2 ou 1
Je veux donc calculer les solutions possibles selon les configurations possibles.

Pour 4 boutons et 1 boutons c'est assez facile:
on a réciproquement,
n combinaison, 4! = 24 et n=1!=1

Pour 2 boutons, voici mon raisonnement :

Il y a deux cas différents, le premier 1 bouton est utilisé trois fois et l'autre 1 fois (cela avec les deux boutons ) et le second, les deux boutons sont utilisés 2 fois.
De ce fait, il s'agit d'arrangement répétitif à additionner?
je calcul donc :

Pour 3 boutons :
Il y a un seul cas, 1 bouton 2 fois et les autres 1 fois, cela avec les 3 boutons
je calcul donc :

Est-ce que mes calculs sont corrects et y-a-t'il une façon plus rapide pour déterminer le nombre de solutions surtout si on considère un code avec plus de 4 chiffres ou lettres.

Merci d'avance.

Stefller
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[gg0]

Bonjour.

Je n'ai pas trop compris ce que tu comptes. Si on veut éviter les soucis, on change régulièrement le code, ou les boutons. Une autre méthode est d'utiliser toutes les touches, soit avec un code à autant de lettres qu'il y a de touches, soit avec des codes différents qui recouvrent l'usage de toutes les touches (clavier à 10 chiffres de 0 à 9, deux codes corrects 15876 et 42039).

Cordialement.

[stefller]

Bonjour gg0 et merci de ta réponse

Pour résumer, ma question c'est de connaître le nombre de solutions lorsqu'on fait un tirage sans remise de :
- 4 éléments parmi 4 (ex 1234, 2314, etc)
- 3 éléments parmi 4 dont 2 identiques (ex: 1123, 2313, etc)
- 2 éléments parmi 4 dont 3 identiques (ex: 1222, 1211, etc)
- 2 éléments parmi 4 dont 2 et 2 identiques (ex: 2121, 1122, etc)

Comment calcules-t-on le nombre de solutions pour chaque configuration.

Je ne cherche pas à éviter les soucis sur les digicodes . Le digicode, c'est juste parce que c'est par ce biais que je me suis posé cette question que j'ai traduis en probabilité.

A savoir, pour un code à 4 chiffres, en connaissant les chiffres composant ce code mais sans connaître les chiffres susceptibles d'être répétés ni le nombre de répétition. Quel est le nombre de chiffre permettant d'avoir le plus de solution (4, 3, 2 ou 1)

J'aimerais généraliser cela pour un code à n chiffre.

[ansset]

je ne comprend pas bien tes premiers calculs.
en premier lieu tu ne précises pas parmi combien de boutons on fait les choix.
9 me semblerait logique mais ce chiffre n'apparait nul part.
d'autre part , j'ai l'impression que tu raisonnes parfois en terme de "combinaisons" et non "d'arrangements" ; hors 1234 est diff de 1324 par exemple.
au final, je veux bien t'aider à calculer tes solutions à la condition que tu ais quand même des bases en probas.
en quelle classe est tu ?
cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefller]

Bonjour ansset,

en premier lieu tu ne précises pas parmi combien de boutons on fait les choix.
9 me semblerait logique mais ce chiffre n'apparait nul part.

Etant donné le problème, nous n'avons pas 9 choix. Soit 4 des boutons sont usés (donc on sait que c'est ces 4 chiffres ou lettre peut importe), soit 3 des boutons sont usés (donc on sait que c'est ces 3 chiffres mais on ne connaît pas celui qui est redondant), soit 2 des boutons sont usés (donc on sait que c'est ces 2 chiffres mais on ne connaît pas celui qui est redondant ni le nombre de redondance), soit 1 seul des boutons est usé est dans ce cas la seule combinaison c'est 4 fois ce chiffre.

j'ai l'impression que tu raisonnes parfois en terme de "combinaisons" et non "d'arrangements" ; hors 1234 est diff de 1324 par exemple.

Je veux inclure l'ordre dans mes calculs

au final, je veux bien t'aider à calculer tes solutions à la condition que tu ais quand même des bases en probas.
en quelle classe est tu ?
cordialement.

Je ne suis plus à l'école mais j'ai les notions de base en proba.


Cordialement,

[ansset]

OK, j'avais mal saisi que l'on partait du principe des boutons "usés".
je vais déjeuner.
A+

[ansset]

alors le pb se simplifie grandement:
si 4 touches marquées c'est effectivement 4!=24 ( tous les arrangements )
si 3 touches marquées , il y a une double.
choix de la double :3
positionnements ( arrangements ) de la double C(4;2) soit 6
positionnements des autres touches : 2
d'où 3*6*2= 36
si 2 touches ( double-double )
le positionnement de la première double implique celui de la deuxième donc res = 6
si 1 touche : 1 seul résultat.

a vérifier comme d'hab.

[Médiat]

Bonjour,

Vousn'auriez pas oublié le cas 2 touches (1-3) ?

[ansset]

Bonjour,

Vousn'auriez pas oublié le cas 2 touches (1-3) ?

SI ! bien sur, merci
choix de la triple ( parmi les deux ) 2.
arrangements 4 , d'où 8 poss !

[stefller]

Bonsoir,

Merci de vos réponses.

Du coup, y a t-il moyen d'écrire une formule pour un nombre de boutons déterminés et un code avec un nombre de chiffre déterminé?

J'imagine que ça va donner quelque chose sous forme de somme, mais je n'arrive pas à déterminer cette somme.

Cordialement,

[ansset]

il me semble que tu peux faire la somme de chacun des cas avec les indications données.

[pallas]

est ce qu'un code peut se faire en appuyant sur un seul des boutons ? et en laissant l'autre (ou les autres )non actif?
ou un seul actif et les trois autres inactifs( si 4 boutons) exemple appui successivement sur position 1puis 2puis 3 puis 4 sur bouton 1 et rien sur les trois autres boutons?

[ansset]

Du coup, y a t-il moyen d'écrire une formule pour un nombre de boutons déterminés et un code avec un nombre de chiffre déterminé?

ce n'est pas très clair.
tu veux dire par exemple 5 boutons "marqués" et un code à 4 chiffres.
oui dans l'absolu, on peut tout calculer.
mais si c'est pour nous faire faire tous les calculs, je ne suis pas sur que qcq ait envie de s'y coller juste pour te faire plaisir.
Cdt

oui au final c'est bien une somme forcement, mais elle ne coule pas de source. ( je veux dire, pas d'équation simple )

[ansset]

est ce qu'un code peut se faire en appuyant sur un seul des boutons ? et en laissant l'autre (ou les autres )non actif?
ou un seul actif et les trois autres inactifs( si 4 boutons) exemple appui successivement sur position 1puis 2puis 3 puis 4 sur bouton 1 et rien sur les trois autres boutons?

tu veux dire dans la pratique : "est ce que cela existe ?" . je n'en sais rien.
de toute façon l'énoncé initial est déjà très théorique car justement les codes sont souvent changés

[stefller]

Bonjour,

J'ai beau essayer de trouver une formule généralisée. En effet, il y a trop de cas dès qu'on passe sur un code à 5 chiffres. De plus, ce qui est compliqué à mettre en oeuvre c'est de prendre en compte la répétition des boutons qui sont utilisés plusieurs fois.

Merci d'avoir pris le temps de me répondre,

A bientôt.

[Médiat]

Bonjour,

Il me semble que la formule de récurrence : et (on choisit les place de i nouvelles touches par rapport à une solution à n-i touches).

Cette formule est facile à mettre dans un tableur, je trouve 1, 1, 3, 13, 75, 541

[Médiat]

Je viens de trouver une référence : https://en.wikipedia.org/wiki/Ordered_Bell_number

[ansset]

joli

[stefller]

Merci Mediat!!!