Le flocon de Koch

monkey · 24/04/2006 - 12h01

Bonjour !

J'ai un problème concernant le flocon de Koch et je compte sur vous pour m'aider...
Je sais que ce problème a été posé plusieurs fois, mais je n'arrive malheureusement pas à comprendre et à trouver exactement ce que je cherche.

Voici l'énoncé :

Le triangle est l'étape 1 du flocon.

1. Etude du nombre de côtés $C_n$
J'ai trouvé $C_n = \frac{3}{4}\times4^n$

2. Etude du périmètre sachant que $u_n = 3\times(\frac{1}{3})^n$ (c'est le résultat que j'ai trouvé mais il me semble juste)
$p_n = 3\times(\frac{4}{3})^{n-1}$

3. Etude de l'aire (je bloque...)
On note $a_n$ l'aire du flocon à l'étape $n$ .

a) Calculer $a_1$ (j'ai trouvé $\frac{\sqrt{3}}{4}$ )
b) De l'étape $n$ à l'étape $n+1$ l'aire est augmentée de celle des $C_n$ triangles équilatéraux de côté $u_{n+1}$ . En déduire $a_{n+1} - a_n$ en fonction de $n$ . (c'est cette question que j'aimerais que vous traitiez, le reste, je pense pouvoir me débrouiller seule, mais votre aide ne serait pas refusée

)
c) Calculer $(a_n-a_{n-1})+...+(a_2-a_1)$ de deux façons différentes. En déduire la valeur de $a_n$ pour $n\ge2$ .
d) Donner une valeur approchée de $a_{50}$ arrondie au millième.

Merci beaucoup !

martini_bird · 24/04/2006 - 17h50

Salut,

je crois que la réponse est dans l'énoncé : pour trouver l'aire $a_{n+1}$ , on augmente l'aire $a_n$ de $C_n$ triangles de côté $u_{n+1}$ ...

Cordialement.

monkey · 24/04/2006 - 21h53

justement, j'éprouvais du mal à comprendre cette phrase, mais je crois voir clair.

a(n+1) - a(n) serait égal à C(n) x u(n+1) alors ?

c'est bien simple à mon goût...

matthias · 25/04/2006 - 09h32

Envoyé par monkey

ja(n+1) - a(n) serait égal à C(n) x u(n+1) alors ?

Non, Un c'est la longueur du côté. C'est l'aire d'un triangle équilatéral de côté Un dont tu as besoin.

monkey · 25/04/2006 - 21h20

ah d'accord ! j'ai trouvé !

maintenant, faut que je fasse les deux dernières questions... ce n'est pas une mince affaire

matthias · 26/04/2006 - 08h15

Envoyé par monkey

maintenant, faut que je fasse les deux dernières questions... ce n'est pas une mince affaire

Somme des termes d'une suite géométrique ...
Rien de bien méchant.

monkey · 26/04/2006 - 20h15

j'ai trouvé
$\frac{\sqrt{3}}{12}\times\frac {4}{9}^n-\frac{\sqrt{3}}{27}$

c'est ça ?

le n est sur la fraction entière et non sur le 9 mais je n'arrive pas à le faire

merci d'avance !

Floboss07 · 28/03/2007 - 15h50

Envoyé par monkey

j'ai trouvé
$\frac{\sqrt{3}}{12}\times\frac {4}{9}^n-\frac{\sqrt{3}}{27}$

c'est ça ?

le n est sur la fraction entière et non sur le 9 mais je n'arrive pas à le faire

merci d'avance !

J'ai aussi ce DM à faire...

Je te rappelle la formule de la somme d'une suite géométrique :

S= $\frac{U_{n+1} - U_0}{q-1}$

En utilisant cela, je trouve...
$\frac{\frac{\sqrt{3}}{12}\time s\frac{4}{9}^n}{\frac{-5}{9}}$

(qu'est ce que c'est le petit signe à droite du X ? Je n'arrive pas à l'enlever :S)

Et donc, ça donne :

$\frac{\left(\frac{9\sqrt{3}}{1 2}\times{\frac{4}{9}^n}\right) }{-5}$

Et après je ne sais pas si on peut le simplifier, c'est pas mon truc, dès qu'il y a des puissances ou des racines ça m'embrouille...

Floboss07 · 28/03/2007 - 19h24

Bon j'ai réussi à le simplifier jusque là :

$\frac{3\sqrt{3}}{-20}\times\frac{4}{9}^n$

Et donc, pour $a_{50}$ j'ai trouvé... 0,433
Mais d'autres (de ma classe) ont trouvé 0,69...

Je ne sais pas lequel est juste.

EDIT : Précision, pour calculer $a_{50}$ , n'oublies pas d'ajouter $\frac{\sqrt{3}}{4}$

Marth · 15/04/2007 - 15h52

et finalement...quelle est la réponse?

Le flocon de Koch

Le flocon de Koch

Re : Le flocon de Koch

Re : Le flocon de Koch

Re : Le flocon de Koch

Re : Le flocon de Koch

Re : Le flocon de Koch

Re : Le flocon de Koch

Re : Le flocon de Koch

Re : Le flocon de Koch

Re : Le flocon de Koch

Sur le même sujet

Discussions similaires

structure du flocon de neige

Qu'est-ce que le postulat de Koch?

Les tags pour cette discussion